Веретенников Александр Юрьевич
«Стохастические дифференциальные уравнения»
Описание курса:
Полугодовой спецкурс читается для студентов кафедры теории вероятностей на пятом курсе, уже прослушавших основы стохастического интегрирования. И лишь первые полторы лекции посвящены краткому повторению этих основ*.Целью курса является более глубокое введение в современную теорию стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) Ито, включающую такие разделы, как сильные и слабые решения, связи СДУ с уравнениями в частных производных, элементы стохастического управления с уравнением Беллмана, уравнение Пуассона «во всем пространстве», элементы теории оптимальной остановки, обратные СДУ Парду – Пенга и их связь с оптимальным управлением.
*Желающие освежить в своей памяти эти основы студенты приглашены к онлайн-участию в первой части (17-21/08) Новосибирской летней вероятностной школы 17 – 29.08.2021 http://www.math.nsc.ru/LBRT/v1/school2021summer/index.html (требуется бесплатная регистрация)
План курса:
Лекция 1
Повторение: Интеграл Ито, его свойства; формула Ито; мартингальные неравенства Дуба и Дуба – Колмогорова; теорема Ито о существовании сильного решения СДУ и о непрерывной зависимости от начального условия (н.у.).
Лекция 2
Марковское свойство решений СДУ; стохастические экспоненты; теорема Гирсанова; экспоненциальные неравенства; условия типа Новикова; понятие о слабых решениях.
Лекция 3
Сильные решения, принцип Ямада – Ватанабе, теоремы Ямада – Ватанабе, Накао, Звонкина, автора, последние достижения; теоремы сравнения.
Лекция 4
Оценки Крылова, формула Ито-Крылова для функций с соболевскими производными. Слабые решения по Скороходу и Крылову.
Лекция 5
Слабые решения: случайная замена времени; характеризация Леви винеровского процесса (многомерный случай); метод «проблемы мартингалов»; одномерный пример Танаки; двумерный пример Крылова.
Лекция 6
СДУ с отражением на прямой и в (многомерной) области; задача Скорохода.
Лекция 7
Связь винеровского процесса с оператором Лапласа и решения общего СДУ с общими эллиптическим и параболическим оператором.
Лекция 8
Эргодические решения СДУ и уравнение Пуассона «во всем пространстве»
Лекция 9
Обратные и прямые уравнения Фоккера – Планка – Колмогорова (ФПК); генераторы (квази)диффузионного процесса.
Лекция 10
Стохастическое управление на конечном интервале времени; уравнение Беллмана; алгоритм улучшения цены Ховарда – Беллмана; понятие о вязких решениях уравнения Беллмана.
Лекция 11
Эргодическое управление «в среднем»; эргодическое уравнение Беллмана.
Лекция 12
Задача об оптимальной остановке.
Лекция 13
Обратные СДУ Парду – Пенга (BSDEs); существование и единственность.
Лекция 14
Связь BSDEs с задачами стохастического оптимального управления.
Лекция 15
Прямые-обратные СДУ Парду – Пенга (Forward – Backward SDEs, FBSDEs) и их связь с нелинейными уравнениями в частных производных.
Лекция 16
Повторение пройденного.
