«Введение в квантовую теорию информации»
Описание курса:
Цели и задачи данного курса: освоение студентами строгих математических методов квантовой теории информации, опирающихся на продвинутые разделы матричного анализа, линейной алгебры, функционального анализа, топологии; приобретение навыков исследования фундаментальных ограничений, которые накладывает информационная теория на различные квантовые процессы (установление пропускной способности квантовых каналов, описывающих широкий класс физических процессов, разрушение и генерация сцепленности, вывод различных энтропийных неравенств); приобретение навыков диаграммного мышления в квантовой теории.
Квантовая теория информации позволяет предсказать, чего в принципе возможно достичь в различных (квантовых) протоколах обработки информации, квантовых алгоритмах, квантовой коррекции ошибок. Все эти области активно развиваются в последние годы, а построение полноценно работающего квантового компьютера - вопрос ближайших нескольких десятилетий. По этой причине специалисты в области квантовой информации будут широко востребованы.
Данный курс охватывает области, составляющие теоретические основы для построения квантового компьютера и создания протоколов обработки квантовой информации, однако изложение здесь ведется, исходя из фундаментальных принципов, с использованием таких общих представлений, как квантовый канал, оператор плотности, открытая система, сепарабельность, меры сцепленности, сцепленность (и другие характеристики квантовых систем) как ресурс для задач квантовых коммуникаций.
Отдельная важная часть, которая предполагается широко присутствовать в обновленном курсе - метод тензорных диаграмм (tensor networks). Диаграммные методы громко заявили о себе как эффективном инструменте в теоретической и математической физике, начиная еще с диаграмм Майера, Пенроуза, Фейнмана. В области квантовой информации они чрезвычайно полезны, так как, имея композициональный характер, они позволяют наглядно представить процессы, связывающие различные части сложных, составных квантовых систем, выявить неожиданные свойства, которые порой сложно увидеть применением аналитических методов. Типичный пример здесь - открытие механизма квантовой телепортации: с момента оформления аксиоматики квантовой теории (который можно связать с выходом книги Джона фон Неймана "Математические основы квантовой теории" в 1932 г.) потребовалось еще около 60 лет, чтобы усмотреть возможность такого механизма. Причина - стандартный формализм операторов и состояний в гильбертовом пространстве неудобен для описания составных квантовых систем. Язык же тензорных диаграмм позволяет ясно представить такие протоколы, как квантовая телепортация, сверхплотное кодирование, и т. д. В этой связи диаграммы ценны с педагогической точки зрения: после освоения языка "сложные" квантовые протоколы становится легче воспринимать, кроме того, изложение становится более компактным, так как длинные аналитические выкладки часто заменяются короткими диаграммными рассуждениями.
Курс имеет значительный уклон в теорию квантовой сцепленности и содержит результаты, недавно полученные и опубликованные ведущими учеными в этой области, а также и самим автором (такие, как неравенства для мер сцепленности, диаграммные методы получения истинно сцепленных подпространств, некоторые критерии сцепленности [12, 13]). В этом отношении курс современен и опирается на передовые исследования.
План курса:
Лекция 1
Постулаты традиционной квантовой теории. Унитарная эволюция замкнутых квантовых систем. Унитарные представления групп симметрий. Кубиты.
Пример задачи: получить закон преобразования двухкомпонентного спинора при вращениях системы.
Лекция 2
Смешанные состояния. Оператор плотности. Критерии смешанности. Представление чистых и смешанных состояний на сфере (шаре) Блоха.
Пример задачи: состояние кубита выбирается случайно на сфере Блоха. Оценить точность воспроизведения произвольного заданного состояния этим случайным состоянием.
Лекция 3
Составные квантовые системы. Сцепленные и сепарабельные чистые состояния. Разложение Шмидта, его связь с сингулярным разложением оператора.
Примеры задач: найти коэффициенты Шмидта заданного двухчастичного состояния, определить, сепарабельное ли оно или сцепленное; получить связь между собственными значениями блочной матрицы и сингулярными значениями ее блоков.
Лекция 4
Интерпретация оператора плотности как ансамбля состояний. HJW-теорема. Ограничения на квантовые коммуникации.
Пример задачи: определить связь между вероятностями спектрального ансамбля оператора плотности и вероятностями какого-либо его другого разложения в ансамбль.
Лекция 5
Язык тензорных диаграмм. Основные операции линейной алгебры в диаграммном представлении. Векторы состояния и операторы как частные случаи квантовых процессов. Оператор плотности и состояние двухкомпонентной системы на языке диаграмм.
Пример задачи: представить разложение Шмидта диаграммно.
Лекция 6
Точность воспроизведения квантовых состояний, ее связь с расстояниями между состояниями, вводимыми на основе операторных норм. Теорема Ульмана. Монотонность точности воспроизведения относительно операции частичного следа.
Пример задачи: получить каноническое разложение оператора плотности, диаграммно представить доказательство теоремы Ульмана.
Лекция 7
Теория измерения. Ортогональные, фон Неймановские измерения. Обобщенные измерения (ПОВМ).
Пример задачи: найти оптимальное ортогональное измерение для различения двух смешанных состояний.
Лекция 8
Квантовые каналы. Обратимость. Представление Крауса. Квантовые операции. Вполне положительные отображения.
Пример задачи: построить канал, обратный изометрическому квантовому каналу.
Лекция 9
Удвоение линий на диаграммах для представления истинно квантовых процессов. Диаграммное представление квантовых каналов. Теорема Чоя. Представление Стайнспринга. Изоморфизм Чоя-Ямиолковского.
Пример задачи: диаграммным методом доказать, что отображение Холево-Вернера является вполне положительным.
Лекция 10
Примеры квантовых каналов. Эволюция открытых квантовых систем. Марковское приближение. Уравнение Линдблада.
Пример задачи: получить уравнение Линдблада для деполяризующего квантового канала.
Лекция 11
Квантовая мажоризация. Стохастические и бистохастические отображения. Теорема Нильсена. Ресурсные теории сцепленности. Параллель с термомажоризацией в квантовой термодинамике. Относительная энтропия. Энтропии Ренье.
Пример задачи: обосновать H-теорему Паули с помощью теории мажоризации.
Лекция 12
Теория квантовой сцепленности. Сцепленность смешанных состояний. Критерий Переса-Городецкого. Свидетели сцепленности. Состояния Белла. ЭПР-пары. Протоколы квантовой телепортации и сверхплотного кодирования.
Пример задачи: доказать сцепленность параметрического семейства состояний Вернера в определенной области значения параметра.
Лекция 13
Квантовые стратегии с использованием сцепленности в классических играх. Неравенства Белла. CHSH-неравенство. Неравенство Цирельсона. Теорема о запрете клонирования. Квантовое распределение ключа. Нелокальность без сцепленности.
Пример задачи: найти протокол "подслушивания" с минимальным возмущением передаваемого квантового состояния.
Лекция 14
Многочастичная сцепленность и ее меры. Вполне и истинно сцепленные подпространства, их генерация диаграммными методами. Оценки для мер сцепленности, связанные с проектором на сцепленное подпространство.
Примеры задач: оценить сцепленность многочастичного состояния, имеющего значительное перекрытие с антисимметричным подпространством; построить истинно сцепленные подпространства максимальной размерности для состояний трех кубитов.
Лекция 15
Введение в квантовую теорию Шеннона. Сильная субаддитивность энтропии фон Неймана. Взаимная информация и ее монотонность. Соотношения неопределенности в энтропийной форме.
Пример задачи: доказать монотонность относительной энтропии по отношению к квантовым каналам из свойства сильной субаддитивности.
Лекция 16
Шумахеровское сжатие. Дистилляция и концентрация сцепленности. Объем информации, получаемой из измерения. Предел Холево.
Пример задачи: состояние d-уровневой системы генерируется случайным образом, затем над ним производится ортогональное измерение в некотором базисе. Какой объем информации о состоянии, в среднем, приобретается за счет измерения?
Лекция 17
Пропускные способности: классическая коммуникация без/с использованием сцепленности, квантовая коммуникация. Когерентная информация и ее связь с пропускной способностью квантового канала. Родительские квантовые протоколы. Неравенство расцепления.
Пример задачи: определить пропускные способности деполяризующего квантового канала.
