Пронин П.И.
Описание курса:
Курс посвящен детальному изучению групп симметрий пространства Минковского: как сохраняющих квадрат интервала длины, так и не сохраняющих квадрат интервала длины. Курс приурочен по времени к изучению студентами классической теории поля и детально исследует математические методы теории симметрий пространства Минковского и теории динамических систем полей.
Курс поможет студентам глубже разобраться в тонкостях метода разделения переменных и теории специальных функций, а также служит введением в теорию поля. Курс «Теория групп и ее применение» в физике является составной частью серии специальных математических курсов, читаемых на кафедре теоретической физики по теории групп, дифференциальной геометрии и теории операторных методов исследования дифференциальных уравнений.
План курса:
Группа симметрий трехмерного евклидова пространства
Лекция 1
Группа вращений трехмерного евклидова пространства. Размерность представления группы вращений
Лекция 2
Спинорное представление группы вращений. Мультиспиноры.
Лекция 3
Связь спинорного представления с дробно-линейным преобразованием стереографической проекции.
Симметрии пространства Минковского
Лекция 4
Пространство Минковского. Симметрии пространства Минковского. Группа трансляций Т (4). Представление группы трансляций.
Лекция 5
Группа Лоренца. Поверхности транзитивности группы Лоренца. Подгруппы группы Лоренца. Связь с релятивистскими преобразования специальной теории относительности.
Лекция 6
Изоморфизм групп SO(3,1) и SL(2,C). Спинорное представление группы Лоренца.
Лекция 7
Биспинорное представление группы Лоренца Представление общей и полной групп Лоренца. Мультиспиноры.
Лекция 8
Релятивистские уравнения. Формализм первого порядка.
Лекция 9
Группа Пуанкаре. Матричное представление группы Пуанкаре в 5-мерном пространстве
Лекция 10
Индуцированные представления. Метод малой группы и представление группы Пуанкаре
Лекция 11
Группа де Ситтера. Изоморфизм группы де Ситтера и группы Пуанкаре. Представление группы де Ситтера ..
Лекция 12
Группа Максвелла М(7). Матричные представления группы Максвелла. Дифференциальные уравнения инвариантные относительно группы Максвелла
Лекция 13
Группа Вейля W(11). Представления группы Вейля
Лекция 14
Конформная группа G(15) . Алгебра конформной группы. Представление конформной группы в пространстве Минковского.
Лекция 15
Морфизм группы G(15) и SO(2,4). Представление конформной группы в шестимерном пространстве. Изоморфизм групп SU(2,2) и конформной группы.
Лекция 16
Группа аффинных преобразований пространства Минковского GA(4,R). Представление группы GA(4,R).
Симметрии дифференциальных уравнений
Лекция 17
Симметрии и разделение переменных.
Лекция 18
Волновое уравнение в различных системах координат и метод разделения переменных. Алгебра группы симметрий волнового уравнения.
