Зенкевич Е . А .
О писание курса :
Курс посвящен бесконечномерным алгебрам Ли и их приложениям к моделям физики частиц, статистической физики и теории струн.
Данный курс знакомит слушателя с основными понятиями теории афинных алгебр и ее приложениями. Это позволит студентам и аспирантам впоследствии применять алгебраический аппарат при изучении двумерных конформных теорий поля, которые в свою очередь важны в теории струн и статистической физике. В данном курсе мы будем развивать теорию дедуктивно, начав с математических определений, и затем продвигаясь к приложениям. Такой способ изложения позволит с одной стороны овладеть теорией с достаточной математической строгостью, а с другой стороны показать различные применения изученного аппарата в физических моделях. Лекции курса буду сопровождаться большим количеством вопросов и упражнений, которые слушатели должны будут решить и рассказать на семинарских занятиях.
В данный момент на кафедре космологии физического факультета читается курс по теории групп. Он, однако, охватывает лишь теорию компактных групп и алгебр Ли, не сообщая слушателям ничего об интереснейших обобщениях на бесконечномерный случай. Такие обобщения, в частности афинные алгебры, рассматриваемые в данном курсе, в настоящее время уже стали стандартными инструментами при рассмотрении двумерных теориях поля и должны изучаться будущими физиками теоретиками. В связи с этим, можно сказать, что курс с одной стороны стартует с хорошо подготовленной базы (теория компактных алгебр Ли, излагаемая в существующем курсе теории групп), а с другой стороны не имеет аналогов на физическом факультете.
План курса :
16 лекций/семинарских занятий
1. Напоминание. Компактные алгебры Ли. Конечные системы корней, диаграммы Дынкина, классификация Картана. Группа Вейля. Веса и представления. Формула Вейля.
Пример задачи:
Выпишите явно все корни алгебры E8. Надите положительные и простые корни. Проверьте, что они дают правильную матрицу Картана.
2. Афинные системы корней. Классификация афинных систем корней. Мнимые корни.
Пример задачи:
Найдите все афинные алгебры имеющие алгебру G2 в качестве подалгебры.
3. Алгебры петель. Центральное расширение как коцикл. Афинные алгебры как центральное расширение алгебр петель. Алгебра Вирасоро как центральное расширение алгебры векторных полей на окружности. Симметрии теории струн.
Пример задачи:
Покажите, что алгебра Вирасоро является единственным нетривиальным центральным расширением алгебры векторных полей на окружности.
4. Нетвистованные афинные алгебры как алгебры петель. Разложение по модам и системы корней. Алгебра \hat{A}_1
Пример задачи:
Определите, какая из афинных алгебр, содержащих G2 подалгебру получается центральным расширением алгебры петель на G2.
5. Твистованные афинные алгебры. Автоморфизмы диаграмм Дынкина. Твистованные граничные условия. Алгебра \hat{BC}_1. Орбифолды в теории струн.
Пример задачи:
Постройте твистованную афинную алгебру, содержащую G2 подалгебру. Какого порядка автоморфизмом она задается?
6. Афинная группа Вейля. Действие на решетке корней. Афинныа группа Вейля как группа движений решетки весов конечной алгебры. Афинная группа Вейля для твистованных алгебр.
Пример задачи:
Опишите действие афинной группы Вейля алгебры \hat{A}_2 на решетке корней.
7. Представления афинных алгебр. Представление evaluation. Представления старшего веса. Решетка весов. Интегрируемые представления старшего веса как аналоги конечномерных представлений компактных алгебр. Действие афинной группы Вейля на весах. Инвариантность представлений относительно группы Вейля. Размерности весовых подпространств.
Пример задачи:
Найдите размерности весовых пространств синглетного представления алгебры \hat{A}_1 на уровне 1 до третьей градуировки.
8. Модуль Верма. Разрешение Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда (БГГ) для компактных алгебр.
Пример задачи:
Найдите разрешение БГГ для присоединенного представления алгебры A_2. Найдите размерности весовых подпространств.
9. Разрешение БГГ для афинных алгебр.
Пример задачи:
Найдите первые четыре нулевых векторов в разрешении БГГ для дублетного представления алгебры \hat{A}_1 на уровне 1.
10. Характеры представлений алгебр Ли. Формальные характеры. Интерпретация характеров как статистических сумм двумерных киральных теорий.
Пример задачи:
Найдите формальные характеры четырех представлений алгебры A_2 низшей размерности. Найдите их размерности.
11. Формула Вейля-Каца для характера. Доказательство с помощью разрешения БГГ. Тройное тождество Якоби.
Пример задачи:
Выведите аналог формулы Якоби для системы корней \hat{BC}_1.
12. Двумерные конформные теории с расширенной симметрией. Связь с алгебрами петель. Модель Весса-Зумино-Новикова-Виттена (ВЗНВ). Голоморфные токи и бесконечномерная симметрия.
Пример задачи:
Покажите, что в модели ВЗНВ с аномальным слагаемым имеются голоморфные токи. Найдите соответствующие генераторы симметрии.
13. Конструкция Шугавары для тензора энергии-импульса модели ВЗНВ. Уравнение Книжника-Замолодчикова на конформные блоки модели ВЗНВ. Вывод из конструкции Шугавары.
Пример задачи:
Найдите выражение для центрального заряда алгебры Вирасоро, получаемой конфструкцией Шугавары, через ранг и уровень афинной алгебры.
14. Представления афинных алгебр и вертексные операторы модели ВЗНВ. Интегрируемые представления и вырожденные модули Верма. Рациональная конформная теория поля. Нулевые вектора в модулях Верма. Минимальные модели двумерной конформной теории поля.
Пример задачи:
Найдите четыре низших нулевых вектора в модуле Верма алгебры Вирасоро для минимальной модели с m=3.
15. Модулярная ковариантность характеров афинных алгебр как следствие модулярной инвариантности двумерной статсуммы. S и T преобразования. Формула пересуммирования Пуассона. Модулярно инвариантные кратности и ADE классификация статсумм.
Пример задачи:
Найдите матрицы S- и T-преобразований характеров представлений алгебры \hat{A}_1 на уровне.
16. Заключение. Связь с теорией узлов и квантовыми группами. q-деформация и R-матрица.
