Клёнов Николай Викторович
Описание курса:
Цели освоения дисциплины: формирование научной основы для осознанного и целенаправленного использования свойств конденсированных сред при создании устройств в различных областях нанотехнологии. Первые разделы таких университетских курсов, как «Квантовая механика» и «Атомная физика», посвящены основным принципам описания одной изолированной микрочастицы. Увы, практика показывает, что многие студенты на знакомстве с этими начальными разделами и останавливаются. А между тем последовательное квантово-механическое описание систем многих частиц имеет свои фундаментальные особенности, и на таком описании базируется огромное количество применений, без которых мы уже не мыслим современную жизнь. В результате для среднестатистического современного студента даже простое знакомство в рамках специальных курсов с принципами работы современных устройств, основанными на достижениях квантовой статистики и физики конденсированного состояния, представляет непростую задачу.
Особенностью данного курса является нацеленность на последовательное продвижение: – от основ квантовой физики конденсированного состояния вещества, зонной теории твердых тел и общих принципов описания бозе- и ферми-систем с взаимодействием, – к анализу работы перспективных квантовых устройств (однофотонных детекторов и квантовых генераторов света, квантовых битов).
План курса:
Занятие 1. Электрон в периодическом потенциале: приближение сильной связи и теорема Блоха. Потенциал Кронига-Пенни. Кристаллическая решетка, трансляционная симметрия.
Занятие 2. Операторы рождения/уничтожения в гармоническом осцилляторе и цепочке связанных осцилляторов. Фононы. Правила обращения с операторами рождения и уничтожения для системы бозе-частиц.
Занятие 3. Сфера, радиус и энергия Ферми. Концепция Ферми-жидкости, квазичастицы. Вторичное квантование для фермиевских полей и правила обращения с операторами рождения и уничтожения для системы ферми-частиц. Классификация твердых тел по их магнитным свойствам: диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики, антиферромагнетики, ферримагнетик. Задача Купера и понятие о куперовской паре.
Занятие 4. Электрон-фононное взаимодействие, гамильтониан Фрелиха для этого взаимодействия. Условия возникновения притяжения между электронами и формирования бозе-конденсата куперовских пар. Контрольная работа.
Занятие 5. Теория Бардина-Купера-Шриффера (БКШ), электронный гамильтониан БКШ. Построение волновой функции БКШ, вычисление средней энергии электронной системы сверхпроводника.
Занятие 6. Энергия одноэлектронного возбуждения и скрытая энергия фазового перехода сверхпроводник (S)/ нормальный металл (N). Величина энергетической щели в спектре одноэлектронных возбуждений в приближении слабой связи.
Занятие 7. Понятие о преобразованиях Боголюбова и их применение для диагонализации гамильтониана цепочки связанных осцилляторов. Модельный гамильтониан в теории БКШ. Преобразования Боголюбова в сверхпроводниках, свойства боголюбовских операторов рождения и уничтожения, боголюбовские квазичастицы.
Занятие 8. Зависимость щели в спектре боголюбовских квазичастиц от температуры. Критическая температура сверхпроводника. Контрольная работа.
Занятие 9. Токовые состояния нормального металла и сверхпроводника. Связь между энергетической щелью в спектре боголюбовских квазичастиц и величиной критического тока сверхпроводника. Спектр возбуждений в сверхпроводнике с током. Понятие о двухжидкостной модели.
Занятие 10. Ток в нормальных и сверхпроводящих гетероструктурах туннельного типа (контакты типа N/I/N, S/I/N, S/I/S). Бездиссипативный ток в S/I/S структурах, стационарный и нестационарный эффекты Джозефсона.
Занятие 11. Неоднородные металлы и сверхпроводники. Сверхпроводники и металлы в магнитном поле. Уравнения Боголюбова/де-Жена. Самосогласованные поля и уравнения самосогласования.
Занятие 12. Функции Грина в физике конденсированного состояния. Примеры использования функций Грина для решения простейших задач. Диаграммная техника и её связь с теорией возмущений. Уравнение Дайсона.
Занятие 13. Функции Грина в сверхпроводнике и уравнения Горькова. Квазиклассическое приближение и переход к уравнениям Узаделя и Эйленбергера. Неравновесные эффекты в сверхпроводниках.
Занятие 14. Вольт-амперная характеристика SN границы. Андреевское отражение электронов. Теория Блондера-Клапфайка-Тинкхама. Эффект близости на границе сверхпроводника с диэлектриком, нормальным металлом, ферромагнетиком. Контрольная работа.
Примеры задач по курсу:
1) Найти собственные функции оператора Гамильтона для электрона, находящегося в произвольном периодическом одномерном потенциале V(x), если известен период этого потенциала а.
2) Для цепочки одинаковых атомов массой m, соединенных пружинами жесткостью K, найти закон дисперсии для распространяющихся колебаний.
3) Найти выражение для разрешенных волновых чисел в первой зоне Бриллюэна.
4) То же самое, но для цепочки из атомов с чередующимися массами m и М.
5) Записать функцию Гамильтона для классической одномерной цепочки из N связанных осцилляторов (масса каждого осциллятора – M, жесткость каждой связи – К).
6) Записать оператор Гамильтона для такой цепочки осцилляторов в квантовом пределе.
7) Получить выражение для кинетической и потенциальной энергии цепочки одинаковых атомов массой m, соединенных пружинами жесткостью k, через нормальные координаты.
8) Получить выражение для оператора рождения квазичастиц в концепции ферми-жидкости через обычные операторы рождения/уничтожения электронов.
9) Получить выражение для оператора рождения электронов через операторы рождения/уничтожения квазичастицы.
10) Найти закон дисперсии для электронов и «вакансий» в электронном идеальном газе.
11) Записать уравнение Шредингера для таких «возбуждений». Показать, что поправка к энергии двух электронов в металле за счет электрон-фононного взаимодействия, вычисленная в первом порядке теории возмущений, равна нулю.
12) Найти среднее значение и дисперсию числа частиц N в основном состоянии сверхпроводника в рамках теории Бардина-Купера-Шриффера.
13) Найти среднее значение кинетической и потенциальной энергии носителей заряда в основном состоянии сверхпроводника в рамках теории Бардина-Купера-Шриффера.
14) Объяснить изотопический эффект в сверхпроводниках (для изотопов одного сверхпроводящего элемента критическая температура уменьшается с увеличением массы атомов изотопа М, причем ТСМ1/2 = const) исходя из ортодоксальной теории Бардина-Купера-Шриффера.
15) Показать, что аномальное среднее для нормального металла равно нулю.
16) Проверить выполнение антикоммутационных соотношений для операторов рождения/уничтожения боголюбовских квазичастиц в сверхпроводнике.
17) Получить обратное преобразование Боголюбова и проверить его справедливость прямой подстановкой.
18) Оценить энергию джозефсоновского сверхтока для симметричной туннельной структуры сверхпроводник-нормальный металл-сверхпроводник (SNS).
19) Определить коэффициенты в функционале Гинзбурга-Ландау (свободной энергии), отнесенном к единице объема, в окрестности критической температуры через микроскопические параметры гамильтониана Бардина-Купера-Шриффера.
20) Выразите плотность идеального ферми-газа через функцию Грина вида G(ε,p).
21) Определить, в пространстве какой размерности возможно формирование связанных состояний в «мелкой» потенциальной яме.
22) Показать, что для двух электронов «над полностью заполненной Ферми-сферой» сколь угодно слабое притяжение может привести к формированию связанного состояния.
