Корпусов Максим Олегович
Описание курса:
Курс состоит из трех частей и длится три семестра - два семестра
линейный функциональный анализ и один семестр - нелинейный
функциональный анализ.
Нелинейный анализ и его приложения к нелинейным дифференциальным
уравнениям в частных производных – это активно развиваемое направление
современной математической физики. В настоящее время огромное
количество работ посвящено исследованию нелинейных дифференциальных
уравнений методами математического анализа, в частности, большое
количество работ посвящено исследованию возникновения режима blow-up
решений, т.е. катастрофического роста самого решения или его
производной (градиентной катастрофы). К примеру, одной из проблем
тысячелетия – это вопрос о том существует ли решение нелинейной системы
уравнений Навье Стокса или разрушается за конечное время.
Цель курса – подвести слушателей к возможности свободно читать научные статьи, посвященные данной тематике. Задачей курса является освоение слушателями основных понятий линейного функционального анализа, необходимых для освоения основных методов нелинейного анализа.
План курса:
Лекция 1. Теория меры Лебега.
Лекция 2. Интеграл Лебега.
Лекция 3. Предельный переход под знаком интеграла Лебега.
Лекция 4. Пространства Лебега.
Лекция 5. Метрические пространства. Первоначальные сведения.
Лекция 6. Метрические пространства. Непрерывные отображения.
Лекция 7. Метрические пространства. Полнота.
Лекция 8. Основные сведения о топологических пространствах.
Лекция 9. Основные сведения о Векторных топологических пространствах.
Лекция 10. Банаховы пространства. Основные понятия.
Лекция 11. Теорема Хана-Банаха.
Лекция 12. Теорема Банаха-Штейнгауза.
Лекция 13. Сильная, слабая и *слабая сходимости.
Лекция 14. Теорема об обратном отображении.
Лекция 15. Транспонированный оператор.
Лекция 16. Спектральная теория в банаховых алгебрах.
Лекция 17. Основные свойства Гильбертовых пространств.
Лекция 18. Теория операторов в гильбертовом пространстве.
