Павловский Олег Владимирович
Описание курса:
Курс посвящен применению функциональных и решеточных методов в физике конденсированного состояния вещества квантовой теории. Рассматриваются актуальные задачи из физики наноструктур и новых материалов, физики сильных взаимодействий, а также из физики мягких сред. В рамках курса будут изучаться как аналитические, так и численные методы исследования решеточных систем. Современная физика ставит перед исследователями все более и более сложные задачи, решение которых требует новых методов и подходов. Ярким примером этого стало создание решеточной квантовой теории поля - подхода, ставшего фактически единственным источником знаний о непертурбативных явлениях в ядерной физике из первооснов квантовой теории. Еще в начале исследования квантовой хромодинамики (КХД), науке о взаимодействии кварков и глюонов, стало ясно, что хорошо развитые к тому времени методы теории возмущения не могут быть использованы в данном случае, так как константа связи этой теории быстро растет с уменьшением характерной энергии.
План курса:
Лекция 1
Континуальный интеграл в квантовой теории, статистической физике и
уравнениях стохастической динамики – основные понятия и определения. Методы
континуального интегрирования.
Задачи:
1)Решеточное определение континуального интеграла для релятивистских и нерелятивистских квантовых частиц. Получить формулу Фейнмана-Каца и ее релятивистское обобщение.
2)Гармонический осциллятор в формализме континуального интеграла. Метод Гельфанда-Яглома. Получить статистическая сумму для случая зависящей от времени частоты (задача повышенной сложности).
3)Средняя энергия, давление и энтропия системы квантовых частиц в формализме континуального интеграла. Получить явные решеточные выражения. Объяснить вычитание фрактальной сингулярности.
Лекция 2
Аналитические методы интегрирования континуальных интегралов. 0-моды и их
регуляризации. Квантование в окрестности классических солитонов.
Задачи:
1)Получить поправку к квазиклассическому приближению в одномерном перевальном интеграле.
2)Провести регуляризацию трансляционной моды в модели инстантонного газа.
Лекция 3
Численные методы. Метод Монте-Карло интегрирования континуальных
интегралов. Метод существенной выборки. Детальный баланс. Методы генерации
одномерных случайных величин заданной плотности
Задачи:
1)Реализовать алгоритм Бокса-Мюллера генерации гауссовой случайной величины.
2)Реализовать неявный алгоритм фон Неймана генерации гауссовой случайной величины. Сравнить производительность с алгоритмом Бокса-Мюллера.
Лекция 4
Численные методы. Метод Монте-Карло интегрирования континуальных
интегралов. Алгоритмы тепловой бани и Метрополиса.
Задачи:
1)Реализовать алгоритмы тепловой бани и Метрополиса для квантового гармонического осциллятора.
2)Получить основное состояние и среднюю энергию системы. Сравнить с аналитическим ответом.
3)Получить плотность волновой функции основного состояния.
Лекция 5
Проблемы метода Монте-Карло. Метод Ланжевена и метод молекулярной динамики.
Проблема автокорреляций и многоуровневый алгоритм Цеперли. Генерация
статистических конфигураций с помощью нейронной сети.
Задачи:
1)Создать структуру нейронной сети для генерации статистических конфигураций. Построить алгоритм обучения такой сети.
2)Реализовать многоуровневый алгоритм для квантового гармонического осциллятора. Оценить эффективность метода от глубины уровней (задача повышенной сложности).
Лекция 6
Задача многих тел в формализме континуального интеграла. Задача о металлическом водороде при высоком давлении. Вигнеровский кристалл. Введение бозонной статистики и перестановки. Жидкий гелий и сверхтекучесть. Квантовое плавление кристалла и открытая проблема сверхтекучего твердого тела.
Задачи:
1)Реализовать бозонную перестановку для двух частиц, взаимодействующих с потенциалом типа Леннарда-Джонса.
2)Вычислить соотношение Линдеманна и показать переход в «сверхтекучее» состояние при низких температурах (задача повышенной сложности).
Лекция 7
Квантовая теория скалярного поля в формализме континуального интеграла. Скалярная теория ϕ4 и топологические решения. Предельные режимы скалярной теории ϕ4 и ее связь со спиновыми моделями. Евклидовая квантовая теория поля на решетке как статистическая модель. Понятие классов универсальности. Модель Изинга. Фазовый переход в модели Изинга.
Задачи:
1)С помощью преобразования Фурье получить пропагатор свободного массивного скалярного поля.
2)Получить явное классическое решение скалярной теории ϕ4 типа кинк и его массу.
3)Какой спиновой модели соответствует скалярная теория ϕ4 в размерности D=N?
Лекция 8
Фазовые переходы со спонтанном нарушением симметрии. Модель Изинга в разложении слабой и сильной связи. Дуальность Крамерса-Ванье, дуальные решетки.
Задачи:
1)С помощью разложения сильной и слабой связи показать существование в модели Изинга фазового перехода по спонтанной намагниченности.
2)Реализовать численно алгоритм тепловой бани для двумерной модели Изинга. Получить значение критической температуры методом оценки площади петли гистерезиса.
Лекция 9
Ренорм-группа в модели Изинга. Преобразование Каданова. Конформная инвариантность на фазовом переходе.
Задачи:
1)Провести преобразование Каданова для квадратной решетки. Найти критическую температуру.
2)Провести преобразование Каданова для гексагональной решетки (задача повышенной сложности).
Лекция 10
Модель Изинга с дефектами структуры. Критический эффект Казимира взаимодействия дефектов. Дефектные линии. Отжиг дефектов. Критический эффект Казимира в биофизике. Динамика дефектов на липидных мембранах. Фолдинг белков.
Задачи:
1)С помощью Монте-Карло моделирование исследовать влияние объемных эффектов на собственную массу дефекта.
2)С помощью Монте-Карло моделирование исследовать казимировское взаимодействие двух дефектов.
Лекция 11
Спиновые модели с непрерывной симметрией. XY-модель в разложении слабой и сильной связи. Корреляторы и их значение в статистической теории и теории поля.
Задачи:
1)Получить связь корреляторов с массой возбужденного состояния в КТП.
2)Реализовать численно алгоритм Метрополиса для двумерной XY-модели. Получить значение критической температуры методом оценки корреляторов.
Лекция 12
Топологические фазовые переходы Березинского-Костелитца-Тауэлсса. Намотки в задаче о жестком ротаторе. Магнитные вортексы XY-модели. Термодинамика вортексов. Вортексы в гидродинамике и теории атмосферы.
Задачи:
1)Численно исследовать в двумерной XY-модели эффект конденсации вортексов. Получить значение критической температуры по плотности вортексов.
Лекция 13
Локальная симметрия на решетке. Калибровочная модель Изинга. Фиксация калибровочной симметрии. Максимальный граф. Калибровочная модель Изинга в разложении слабой и сильной связи. Теорема Илизальда о невозможности спонтанного нарушения калибровочной симметрии.
Задачи:
1)Вычислить размер максимального графа на решетке 23 с периодическими граничными условиями. Тоже самое сделать для симплектической решетки.
2)Численно исследовать калибровочную модель Изинга. Убедится в том, что в модели нет фазового перехода по спонтанному нарушению симметрии.
Лекция 14
Калибровочная XY-модель в разложении слабой и сильной связи. Корреляторы. Связь модели в квантовой электродинамикой. Непрерывный предел. Магнитные монополи модели и струны Дирака.
Задачи:
1)Реализовать численно алгоритм Метрополиса для калибровочной трехмерной XY-модели. Получить значение критической температуры методом оценки корреляторов.
2)Получить значение средней плотности монополей.
Лекция 15
Неабелевые калибровочные решеточные модели. Калибровочные инварианты. Петли Вильсона и т`Хофта. Линии Полякова. Мера Хаара.
Задачи:
1)Реализовать фиксацию калибровки в неабелевой решеточной модели. Сколько условий надо задать для фиксации.
Лекция 16
Непрерывный предел в неабелевых калибровочных решеточных моделях. Действие Вильсона. Петля Вильсона в пределе сильной связи.
Задачи:
1)Высчитать поправки к действию Вильсона от двухплакетных вкладов.
2)Получить поправки к петле Вильсона в пределе сильной связи.
3)В пределе сильной связи получить массу глюболла из анализа двухплакетного коррелятора.
Лекция 17
Конфайнмент кварков. Топологические дефекта. Максимальная абелевая проекция. Дуальная сверхпроводимость.
Задачи:
1)Провести фиксацию максимальной абелевой калибровки в SU(2) решеточной теории.
Лекция 18
Метод Монте-Карло для неабелевых калибровочных решеточных моделей. Алгоритм Кройца для SU(2) случая. Генерация SU(3) равновесной конфигурации.
Задачи:
1)Реализовать алгоритм Кройца генерации равновесной SU(2) калибровочной конфигурации. Исследовать петлю Вильсова при различных константах связи.
Лекция 19
Фермионы на решетке. Простейшая двухузловая контактная модель. Полимерное разложение. Когерентные состояния и грассмановые числа. Представление статистической суммы в базисе когерентных состояний фермионных операторов.
Задачи:
1)Получить выражение для статистической суммы для двухузловой контактной модели.
Лекция 20
Основы алгебры Грассмана. Дифференцирование и интегрирование. Гауссовы интегралы от грассмановых переменных. Производящая функция и теорема Вика для фермионов.
Задачи:
1)Получить выражение для производящей функции гауссового фермионного распределения.
Лекция 21
Континуальный интеграл с фермионами. Непрерывный предел и уравнение Дирака. Наивное действие и проблема фермионных дублей. Киральная симметрия на решетке. Причина и способы решения проблемы фермионных дублей. Фермионы Вильсона.
Задачи:
1)Получить, что фермионы Вильсона описывают только одно возбуждение масс М.
2)Как можно, используя фермионы Вильсона, описать 4 фермиона массы М? Сколько еще фермионов с массой М можно описать с помощью данного фермионного действия.
Лекция 22
Взаимодействие фермионов с калибровочным полем. Спектроскопия адронов. Мезоны, ди-кварки и барионы. Общая схема вычисления спектров. Детерминант Дирака. Положительность детерминанта и проблема знака. Критический заряд как пример проблемы знака. γ5 – сопряжение.
Задачи:
1)С помощью теоремы Вика выписать явный вид коррелятора операторов рождения и уничтожения скалярной, псевдоскалярной и векторной частицы.
Лекция 23
Учет детерминанта Дирака. Эффективное действие. Разложение по хоппингу. Вывод петли Вильсона. Закон площадей и закон периметра.
Задачи:
1)Для фермионов Вильсона в разложении по хоппингу получить поправки к закону площадей.
2)Для фермионов Вильсона в разложении по хоппингу получить поправки к массе глюболла. Обсудить возможные смешивания.
Лекция 24
Киральные фермионы. Фермионы Когута-Саскинда. Соотношение Гинспарга-Вильсона. Overlap-фермионы. Фермионы доменных стенок 1) Показать, что Overlap-фермионы удовлетворяют соотношению Гинспарга-Вильсона.
Лекция 25
Алгоритмы Монте-Карло с фермионами. Псевдо-фермионы. Q-алгоритм Ребби-Парризи.Q-1 алгоритмы. Молекулярная динамика и гибридный Монте-Карло.
Реализовать Q-алгоритм для простейшей двухузловой системы. Оценить производительность метода с ростом размера решетки.
Лекция 26
Молекулярная динамика и гибридный Монте-Карло. Метод сопряженных градиентов. Фермионная сила.
Задачи:
1)Реализовать гибридное Монте-Карло для простейшей двухузловой системы. Оценить производительность метода с ростом размера решетки.
Лекция 27
Решеточная квантовая теория поля при конечной температуре. Температура деконфайнмента. Конечный химический потенциал. Проблема знака
Задачи:
1)Оценить в приближении сильной связи температуру деконфаймента. Оценить роль фермионного детерминанта.
2)Доказать, что кварковых химический потенциал приводит к проблеме знака.
Лекция 28
Решеточная квантовая теория поля во внешнем магнитном поле. Уровни Ландау. Киральный магнитный эффект.
Задачи:
1)Получить граничные условия на поля во внешнем магнитном поле.
2)В приближении сильной связи и разложения по хоппингу оценить влияние магнитного поля на натяжение струны.
Лекция 29
Решеточная теория поля во графена. Модель сильной связи. Безщелевой спектр возбуждений. Дисперсионное соотношение для графена. Монослойный и двухслойный графен.
Задачи:
1)Получить дисперсионное соотношение для двухслойного графена типа АА и АВ.
Лекция 30
Дираковская модель электронных возбуждений графена. Одночастичное приближение. Парадокс Клейна и эффект Холла в графене. Критический заряд. Решеточное представление действия графена через фермионы Когута-Саскинда.
Задачи:
1)Оценить величину критического заряда в графене.
Лекция 31
Графен в приближении чисел заполнения. Антиферромагнитный и экситонный конденсаты. Исследование Монте-Карло физики графена в терминах чисел заполнения.
Задачи:
1)Создать алгоритм задания гексагональной решетки с периодическими граничными условиями. Реализовать на ней простейшую модель формирования экситонного конденсата с учетом только собственной энергии возбуждения и взаимодействия на первом координационном радиусе.
2)Оценить влияние спин-спинового взаимодействия и конкуренции конденсатов.
Лекция 32
Открытые вопросы в физике графена. Гексагональный нитрид бора. Гексагональный карбид углерода. Трехмерные полуметаллы. Киральный магнитный эффект в современных наноматериалах.
Задачи:
1)Построить качественную решеточную модель трехмерного полуметалла с анизотропией скорости Ферми.
