Юшков Егор Владиславович
Описание курса:
В первую очередь, курс "Теория разрушений для нелинейных уравнений" знакомит учащихся с тем, как исторически в физике появились нелинейные задачи, какие физические явления привели к этому, что оказалось невозможным объяснить в линейном приближении, как можно подступиться к таким проблемам и в чем их принципиальные различия при рассмотрении в диссипативных и дисперсионных средах. Немного необычное название курса сложилось несколько лет назад, когда он только появлялся и был нацелен исключительно на знакомство студентов с явлением разрушения или, другими словами, с проблемой глобальной неразрешимости, появляющейся при добавлении даже простейшей нелинейности. Понятно, что тогда курс строился, так или иначе, вокруг классического результата Фуджиты, связанного с разрушением решения уравнения теплопроводности при наличии слабонелинейного степенного слагаемого. В силу этого в предыдущие годы курс предполагал отличное владение функциональным и интегральным анализом, что оказалось (а это стало понятно только в процессе преподавания курса) избыточным требованием к студентам не специализирующимся на математических методах. Сейчас курс расширен и построен таким образом, чтобы быть понятным для студентов-теоретиков широкого профиля. Конечно, он по-прежнему требует хорошего владения математикой, правда, теперь уже на уровне выпускника бакалавриата. Поэтому, хотя в программу он входит исключительно как курс для магистров кафедры математики второго года, по сути он может быть рекомендован магистрантам обоих лет, а также аспирантам факультетов, специализирующихся в теоретических направлениях.
План курса:
1. Классические задачи нелинейной физики на примере простейших моделей гидродинамики. Уравнения простой волны, Бюргерса и Кортвега-де Фриза.
2. Дисперсия в нелинейной постановке и диссипационное подавление. Знакомство с явлением разрушения: опрокидывание волны и нелинейный взрыв.
3. Формирование и распространение ударных волн на примере уравнения простой волны. Метод характеристик и его модификации.
4. Эффекты диссипации на примере уравнения Бюргерса. Замены типа Коула-Хопфа. Автомодельный подход.
5. Эффекты дисперсии на примере уравнения Кортвега-де Фриза. Законы сохранения и уединенные волны (солитоны).
6. Проблема явного решения нелинейных задач. Методы обратной задачи рассеяния и его ограничения.
7. Проблема появления глобальной неразрешимости в нелинейных задачах. Классический результат Фуджиты.
8. Разрушение в явнорешаемых задачах Бюргерса и Кортвега-де Фриза. Метод нелинейной емкости и влияние граничных условий.
9. Взрывы. Энергетический метод Левина для задач гиперболического и параболического типа.
10. Теоремы сравнения и методы автомодельных решений Самарского-Галактионова.
11. Возможности совместного использования численных, асимптотических и аналитических методов.
12. Мгновенное разрушение и вопросы корректной постановки нелинейной физической проблемы.
