Никитин Н.В.
Описание курса:
Курс посвящен изучению фундаментальных проблем квантовой теории.
Современной квантовой механике уже почти сто лет. Однако до сих пор вопрос об основаниях данной науки является до конца не проясненным. Первый интерес к основаниям квантовой теории возник в 1920-х годах сразу после создания волновой (Э.Шредингер) и матричной (В.Гейзенберг) механик. Этап становления квантовой механики в основном завершился к началу 1940-х годов формулировкой вероятностной интерпретацией волновой функции (М.Борн) и Копенгагенской интерпретации квантовой механики (Н.Бор, В.Гейзенберг и большинство других физиков). Все попытки свести квантовую вероятность к классической теории со скрытыми параметрами (А.Эйнштейн, Л. де Бройль, Д.Бом и др.) были признаны несостоятельными.
Новый всплеск интереса к основаниям квантовой теории возник в начале 1990-х годов и был связан с квантовыми вычислениями и квантовой криптографией. Условно его можно связать с появлением квантового алгоритма Шора (1994 г.) для быстрой факторизации целых чисел при помощи принципа суперпозиции и возросшей в связи с этим ролью теоремы о невозможности клонирования не только чистых, но и смешанных (1996 г.) состояний.
Параллельно возник целый ряд новых экспериментов по проверке нарушений неравенств Белла. Однако эти эксперименты не были свободны от факторов («лазеек»), которые могли бы привести к нарушению неравенств Белла без привлечения квантовых корреляций. Это, прежде всего, лазейка локальности, лазейка измерений и лазейка контекстуальности.
И только в 2015 году было поставлено сразу три разных эксперимента, которые смогли закрыть все основные лазейки одновременно.
Таким образом, давно назрела необходимость донести до студентов и аспирантов современный теоретический взгляд и экспериментальные факты, которые поясняют и проясняют происхождение и легитимность квантовой парадигмы для описания микромира. Предлагаемый курс является оригинальным и не имеющим аналогов в российском образовании. Этот курс существенно опирается на курсы квантовой механики и квантовой теории информации, но отличается от них целями, задачами и подбором основного материала.
План курса:
Часть 1 Квантовая механика чистых состояний
Постулаты квантовой механики (для чистых состояний)
Теорема о невозможности клонирования произвольного чистого состояния
Совместное клонирование ортогональных состояний
Теорема о невозможности уничтожения копии произвольного чистого состояния
Задача о квантовой бомбе
Трехщелевой эксперимент и правила суперотбора
Смысловое различие между вектором состояния и волновой функцией
Проективные измерения
Операторы измерения
Понятие о POVM-операторах
Пример использования POVM-операторов
Уточнение принципа суперпозиции для неортогональных состояний
Несимметричные проекторы и слабые величины
Квантовый Чеширский Кот
Слабые величины и отрицательные вероятности
Часть 2 Матрица плотности: основные свойства
Матрица плотности чистого состояния и ее свойства
Как строить матрицу плотности чистого состояния?
Матрица плотности смешанного состояния и ее свойства
Почему смешанное состояние не сводится к чистому?
Физический смысл элементов матрицы плотности
Матрица плотности смешанного состояния в координатном представлении
Унитарная свобода в представлении матрицы плотности
Альтернативный набор условий для матрицы плотности чистого состояния
Нерелятивистская матрица плотности спина s=1/2
Явный вид матриц плотности спина s = 1/2 для его проекций на произвольную ось
Матрица плотности фотона. Параметры Стокса
Теорема Глизона
Матрица плотности и постулаты квантовой механики
Количественное сравнение квантовых состояний
Основные свойства степеней совпадения
Основные свойства метрик
Примеры вычисления степеней совпадения и метрик
Примеры вычисления различных функций от матриц плотности
Матрица плотности составной системы
Запутанные и сепарабельные состояния
Квантовое происхождение вероятностей
Альтернативный способ вычисления частичного следа
Факторизация матрицы плотности
Обобщение понятия сепарабельного состояния
Разложение Шмидта
Число Шмидта и запутанные состояния
Состояния Белла
Квантовая телепортация
Явный вид матрицы плотности для состояний Белла
Общий вид матрицы плотности двух спинов s=1/2
Зачем нужны критерии (условия) сепарабельности?
Необходимое условие сепарабельности А.Переса
Как выполнять частичное транспонирование?
Состояние Вернера и критерий сепарабельности Переса
Редукционное условие сепарабельности
Состояние Вернера и редукционный критерий
Часть 3 Формула фон Неймана и ее следствия.
Условная матрица плотности и формула фон Неймана
Условная и совместная вероятности в классической и квантовой теориях
Аддитивность условной вероятности в классическом и квантовом случаях
Редукция матрицы плотности и парадокс друга Вигнера
Проекционный постулат М.Борна и проекционный постулат Дирака-фон Неймана
Постулат о среднем значении операторов
Модель измерения по фон Нейману
Нелокальность нерелятивистской квантовой механики на микроскопическом уровне
Локальность нерелятивистской квантовой механики на макроскопическом уровне и теорема Эберхарда
Теорема Эберхарда и Копенгагенская интерпретация квантовой механики
Локальность НКМ на макроуровне и теорема о невозможности клонирования
Связь правила Людерса и локальности на макроуровне
Матрица плотности для суперпозиции состояний
Альтернатива принципу суперпозиции
Декогеренция и запутанные состояния
Часть 4 Эволюция квантовой системы во времени
Эволюция матрицы плотности во времени. Квантовое уравнение Лиувилля (уравнение фон Неймана)
Теорема ''о сохранении чистоты''
Решение квантового уравнения Лиувилля. Общий случай зависящего от времени гамильтониана
Решение квантового уравнения Лиувилля, когда гамильтониан системы явно
не зависит от времени
Уравнение Блоха без затухания
Квантовое уравнение Лиувилля в координатном представлении
Матрица плотности свободной частицы
Обобщенная формула фон Неймана. Частный пример
Обобщенные правило Людерса и формула фон Неймана. Общий подход через операторы измерения
Квантовый парадокс Зенона
Формула Ааронова-Бергмана-Лебовица
Квантовая стрела времени и АБЛ-формула
Оператор производной оператора по времени для смешанных состояний
Свойства интегралов движения
Часть 5 Описание открытых квантовых систем
Распад нестабильной микросистемы
Квантовое уравнение Лиувилля для открытых систем
Эволюция матрицы плотности открытых квантовых систем. Общий подход
Релаксационное уравнение для частицы в термостате
Операторы Крауса и представление Крауса для матрицы плотности открытой квантовой системы
Представление Крауса для эволюции наблюдаемых
Неоднозначность представления Крауса
Теорема Крауса
Применение формализма операторов Крауса
Проекционный постулат и уравнение Шредингера как следствие представления Крауса
Модель Д.Дойча для замкнутых времениподобных кривых в квантовой механике
Уравнение Линдблада
Декогеренция с точки зрения уравнения Линдблада
Как работает уравнением Линдблада. Типичный пример
Уравнением Линдблада для наблюдаемых в представлении Гейзенберга
Физический смысл введения POVM-операторов
Формулировка квантовой механики в терминах совместных историй
Условие Гриффитса для согласованности квантовых историй
Часть 6 Основы классической теории информации
Классическая энтропия. Биты и наты
Энтропия и информация
Декогеренция и парадокс кота Шредингера
Оценка границы между микро- и макромирами из энтропийных соображений
Ограничения на величину шенноновской энтропии
Двоичная энтропия
Неравенство Йенсена и вогнутость энтропии Шеннона
Классическая относительная энтропия и неравенство Гиббса
Классическая совместная энтропия и субаддитивность
Условная вероятность и теорема Байеса
Классическая условная энтропия
Доказательство субаддитивности
Классическая взаимная информация
Сильная субаддитивность
Часть 7 Основы квантовой теории информации
Квантовая энтропия (энтропия фон Неймана)
Энтропия замкнутой квантовой системы
Ограничения на величину энтропии фон Неймана
Энтропия чистого состояния
Гипотеза о скрытых параметрах
Пример вычисления энтропии смешанного состояния
Сравнение квантовой и классической энтропий
Квантовая относительная энтропия и неравенство Клейна
Квантовая совместная энтропия и субаддитивность
Свойство субаддитивности для состояния Вернера
Субаддитивность и второе начало термодинамики
Квантовая взаимная информация
Неравенство Араки—Либа
Вогнутость квантовой энтропии
Теорема о невозможности клонирования произвольного смешанного
состояния
Приближенное копирование. «Угадайка»
Приближенное копирование. «Идентификация»
Приближенное копирование. Максимальная степень совпадения
Часть 8 Неравенства Белла и корреляции в квантовой теории
Совместная измеримость и неизмеримость
Понятие об элементах физической реальности
Неравенств Белла. Историческая справка
Неравенств Белла. Основная идея
Простой вывод BCHSH-неравенства
Вывод BCHSH-неравенства из условия неотрицательности совместных
вероятностей
Вывод BCHSH-неравенств при помощи концепции локальных скрытых
параметров
Граница Цирельсона
Запутанные состояния вступают в игру
Неравенства Белла и нелокальность
Пример вычисления тройных вероятностей
Дискуссия: может быть НКМ все-таки локальна?
Локальность для BCHSH-неравенств и локальность в КТП --- это одно и
тоже, или это разные понятия?
BCHSH-неравенство и сепарабельные состояния
Нарушение BCHSH-неравенства при помощи ЛЮБОГО запутанного
состояния
Носки профессора Бертлмана и BCHSH-неравенство
Эксперименты по проверке неравенств Белла
Информационное неравенство Белла
Нарушение информационного неравенства Белла в квантовой механике
Неравенство Вигнера
Релятивистские поправки к неравенству Вигнера
Нарушение неравенств Вигнера в квантовой теории
Неравенство Белла для частиц со спином s=1 и его нарушение
Часть 9 Принцип макроскопического реализма и неравенства Леггетта-Гарга
Макроскопический реализм per se
Вывод простейшего неравенства Леггетта-Гарга
Получение семейства неравенств Леггетта-Гарга
Нарушение неравенств Леггетта-Гарга в квантовой теории
Слабый и сильный NIM
Часть 10 За пределами квантовой теории
Ящики Попеску—Рорлиха
Неравенства Белла в терминах ящиков Попеску—Рорлиха
Корреляции сильнее тех, что используются в неравенствах Белла
Протоколы ван Дама
Принцип информационной причинности
