Ягола А.Г.
Описание курса:
Курс является базовым для изучения методов решения обратных, в том числе, некорректно поставленных задач с приложениями к обратным задачам геофизики. В нем осуществляется рассмотрение основных понятий теории А.Н.Тихонова регуляризации некорректно поставленных задач.
Предварительно студенты изучают основные необходимые понятия теории функциональных пространств и линейных операторов, элементы выпуклого программирования, основные методы минимизации функционалов в гильбертовых и конечномерных евклидовых пространствах.
Показано, как методы решения некорректно поставленных задач применяются для решения обратных задач гравиметрии, магниторазведки, сейсморазведки, восстановления спектрального распределения аэрозоля в атмосфере.
Содержание спецкурса: элементы функционального анализа и выпуклого программирования, основные методы минимизации функционалов, понятия регуляризирующего алгоритма и квазирешения некорректно поставленной задачи, численные методы решения интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода, обратные задачи гравиметрии, магниторазведки, сейсморазведки, восстановления спектрального распределения аэрозоля в атмосфере.
Цели и задачи: овладение современными профессиональными знаниями в области методов решения обратных и некорректно поставленных задач и их использование для решения обратных задач физики Земли. В результате освоения дисциплины обучающийся должен понимать математические методы минимизации функционалов и решения некорректно поставленных задач, постановки обратных задач геофизики.
План курса:
1 раздел: Некорректно поставленные задачи
1. 2 часа. Введение. Корректность постановки математической задачи. Метрические, нормированные пространства.
2. 2 часа. Элементы теории линейных операторов. Примеры некорректно поставленных задач.
3. 2 часа. Понятие регуляризирующего алгоритма. Некорректные задачи на компактах.
2 раздел: Задачи минимизации
4. 2 часа. Постановка экстремальных задач. Разрешимость задачи оптимизации. Выпуклые множества. Выпуклые функционалы.
5. 2 часа. Разрешимость задачи выпуклого программирования. Критерии выпуклости и сильной выпуклости. Метод наименьших квадратов. Метод псевдообращения. Минимизирующие последовательности.
6. 2 часа. Некоторые методы решения одномерных экстремальных задач. Метод скорейшего спуска. Метод сопряжённых градиентов. Метод Ньютона.
7. 2 часа. Методы нулевого порядка. Метод условного градиента. Метод проекции сопряжённых градиентов.
3 раздел: Численные методы решения некорректных задач
8. 2 часа.Компактные множества функций специального вида. Истокопредставимость решения.
9. 2 часа. Регуляризирующий алгоритм А.Н.Тихонова. Обобщённый принцип невязки. Несовместные некорректные задачи.
10. 2 часа. Интегральные уравнения Фредгольма I рода. Уравнение типа свертки.
4 раздел: Задачи гравиметрии
11. 2 часа. Введение. Прямые задачи гравиметрии. Обратные задачи гравиметрии.
12. 2 часа. Численные методы. Примеры.
5 раздел: Задачи магнитометрии
13. 2 часа. Введение. Теория магнитного потенциала. Прямые задачи магнитометрии.
14. 2 часа. Обратные задачи магнитометрии. Примеры.
6 раздел: Задачи сейсморазведки
15. 2 часа. Введение. Отражение и преломление волн. Сейсмокаротаж.
