«Эллиптические уравнения»
Описание курса:
Данный курс предназначен для студентов и аспирантов, желающих изучить основные методы исследования линейных и нелинейных уравнений эллиптического типа. В курсе рассматриваются слабый и сильный принцип максимума, теорема типа Жиро о знаке косой производной, на основе которых доказаны признаки сравнения для нелинейных эллиптических уравнений, развивается барьерная техника для получения априорных оценок гладких решений. Рассматриваются необходимые пространства Гельдера и соответствующие оценки Шаудера, на основе которых применяется метод верхних и нижних решений для нелинейного эллиптического уравнения. Кроме того, детально рассматривается теория потенциала. Отдельно рассматривается объемный потенциал в пространствах Гельдера, а также поверхностные потенциалы простого и двойного слоя. Даются сведения о функции Грина задачи Дирихле и оценках производны функции Грина.
План курса
Лекция 1
Оценки фундаментального решения оператора Лапласа.
Лекция 2
Теоремы Остроградского-Гаусса-Грина.
Лекция 3
Формула среднего значения для гармонических функций.
Лекция 4
Слабый и сильный принцип максимума для оператора Лапласа. Лемма Олейник-Хопфа.
Лекция 5
Теоремы Лиувилля и Харнака.
Лекция 6
Третья формула Грина и функция Грина.
Лекция 7
Ньютоновский потенциал в пространствах Гельдера.
Лекция 8
Теория поверхностей Ляпунова и поверхностные потенциалы в пространствах Гельдера.
Лекция 9
Однозначная разрешимость внешних и внутренних задач Дирихле и Неймана.
Лекция 10
Слабый и сильный принципы максимума. Теорема типа Жиро.
Лекция 11
Признаки сравнения для нелинейных уравнений.
Лекция 12
Оценки Шаудера в пространствах Гельдера.
Лекция 13
Метод верхних и нижних решений для нелинейного уравнения.
Лекция 14
Устойчивость решения нелинейной задачи.
Лекция 15
Оценка градиента решения нелинейной задачи.
Лекция 16
Введение в теорию слабых решений.
