«Параболические уравнения»
Описание курса:
В курсе излагаются основные качественные свойства решений линейных и нелинейных уравнений параболического типа. Прежде всего в первых лекциях излагается принцип максимума для решений линейного уравнения теплопроводности, на основе которого доказываются теоремы единственности для решения первой краевой задачи и признаки сравнения для решений дифференциальных неравенств для линейного оператора теплопроводности. Затем подробно излагается теория потенциала для линейного оператора теплопроводности. Изучаются свойства четырех потенциалов: теплового поверхностного по нижней крышки, теплового объемного, тепловых поверхностных двойного слоя и простого слоя. Затем доказана разрешимость первой краевой задачи. Затем излагается слабый и сильный принцип максимума, теорема типа Жиро для решений линейных параболических уравнений. Рассматривается задача Коши в классе Тихонова-Тэклинда и признаки сравнения решений первых краевых задач. В заключение, рассматривается метод верхних и нижних решений в параболических пространствах Гельдера.
План курса
Лекция 1Фундаментальное решение и задача Коши для оператора теплопроводности.
Лекция 2
Принцип максимума для оператора теплопроводности.
Лекция 3
Класс единственности А. Н. Тихонова.
Лекция 4
Формулы Грина и потенциала.
Лекция 5
Тепловой поверхностный потенциал по нижней крышке.
Лекция 6
Тепловой объемный потенциал.
Лекция 7
Тепловой поверхностный потенциал двойного слоя.
Лекция 8
Тепловой поверхностный потенциал простого слоя.
Лекция 9
Разрешимость первой краевой задачи для уравнения теплопроводности.
Лекция 10
Постановка задач для общего параболического оператора.
Лекция 11
Слабый принцип максимума.
Лекция 12
Сильный принцип максимума.
Лекция 13
Теорема типа Жиро.
Лекция 14
Задача Коши.
Лекция 15
Признаки сравнения и их приложения.
Лекция 16
Метод верхних и нижних решений.
