«Параболические уравнения»
Описание курса:
Рассмотрены отдельно (в силу линейности задачи) задача Коши для однородного уравнения теплопроводности и отдельно задача Коши с нулевым начальным условием для неоднородного уравнения теплопроводности. При некоторых достаточных условиях получены явные выражения для решений. В некотором классе решений однородного уравнения теплопроводности доказан признак максимума и минимума. Для первой смешанной краевой задачи доказана теорема единственности. Дано понятие о цилиндрической области, параболической части границы, верхней и нижней крышек. Введен класс Тихонова-Тэклинда, в котором доказан принцип максимума и принцип минимума для решений задачи Коши. На его основе доказана единственность решения задачи Коши. Рассмотрен пример А. Н. Тихонова неединственности. Дано определение параболического оператора с переменными коэффициентами. Даны постановки первой и второй смешанных краевых задач. Доказан слабый принцип максимума в цилиндрической области. Сформулирован сильны принцип максимума и теорема типа Жиро о знаке косой производной. Обсуждаются в чем именно принципиально состоит результаты этих теорем. Доказана априорная оценка для решений первой смешанной краевой задачи для нелинейного уравнения. Доказаны теоремы единственности для первой и второй смешанной краевых задач. Получены различные варианты априорных оценок для нелинейных уравнений. Рассмотрены различные краевые задачи для нелинейных краевых задач и доказаны для них признаки сравнения. следует возможность предельного перехода. Введены в рассмотрения параболические пространства Гельдера C^{1+\alpha/2,2+\alpha} и рассмотрены их свойства. Затем рассмотрен метод верхних и нижних решений для полулинейного параболического уравнения. При помощи метода верхних и нижних решений получены априорные оценки в пространстве Гельдера C^{1+\alpha/2,2+\alpha}, из которых следует возможность предельного перехода. Доказаны необходимые для дальнейшего формулы интегрирования по частям. Получена вторая формула Грина для оператора теплопроводности, на основе которой и свойств фундаментального решения, получена третья формула Грина. Из третьей формулы Грина вытекает необходимость в отдельном рассмотрении четырех потенциалов. Изучены свойства дифференцируемости и непрерывности первого поверхностного потенциала – потенциала по нижней крышке. Последовательно изучаются свойства объемного потенциала. Изучается непрерывность и существование первых частных производных по пространственным координатам. Продолжается рассмотрение объемного потенциала. Получена формула для вычисления производных по координатам второго порядка и производной по времени. Доказано, что объемный потенциал удовлетворяет неоднородному уравнению теплопроводности. Рассмотрен потенциал двойного слоя. Изучены свойства непрерывности и получены предельные свойства при стремлении извне и изнутри по нормали к боковой поверхности цилиндрической области. На основе свойств потенциала двойного слоя изучены предельные свойства нормальной производной потенциала простого слоя.
План курса:
Лекция 1
Задача Коши для неоднородного уравнения теплопроводности.
Лекция 2
Принцип максимума для оператора теплопроводности.
Лекция 3
Класс единственности А. Н. Тихонова.
Лекция 4
Постановка задач для параболических уравнений. Слабый принцип максимума.
Лекция 5
Сильный принцип максимума. Теорема Жиро о знаке косой производной.
Лекция 6
Теоремы единственности для первой и второй краевых задач. Априорные оценки.
Лекция 7
Теоремы сравнения для нелинейных уравнений.
Лекция 8-9
Параболические пространства Гельдера. Метод верхних и нижних решений для нелинейного параболического уравнения.
Лекция 10
Формулы Остроградского-Гаусса-Грина. Вторая формула Грина. Третья формула Грина.
Лекция 11
Тепловой потенциал по нижней крышке.
Лекция 12
Тепловой объемный потенциал.
Лекция 13
Тепловой объемный потенциал.
Лекция 14
Тепловой потенциал двойного слоя.
Лекция 15
Тепловой потенциал простого слоя.
