Лукьяненко Дмитрий Витальевич
«Численные методы математической физики»
План курса:
Курс охватывает наиболее употребительные численные методы для решения задач, возникающих в экспериментальной и теоретической физике.
Первая часть курса (темы 1-10) содержит решение тех задач, которые традиционно относят к математическому анализу. Он включает решение линейных и нелинейных уравнений и их систем, вычисление интегралов, интерполяцию, численное дифференцирование, аппроксимацию (включая обработку экспериментальных данных методом наименьших квадратов), нахождение собственных значений матриц и минимизацию функций и функционалов. Этот круг методов охватывает большую часть простейших проблем, возникающих при планировании и обработке экспериментов, а также при решении сравнительно простых задач теоретической физики.
Вторая часть курса охватывает задачи, традиционно относящиеся к математической физике. Он начинается с решения обыкновенных дифференциальных уравнений (темы 11-17): задача Коши для мягких, жестких и дифференциально-алгебраических систем, краевые задачи. Далее следуют различные типы уравнения в частных производных (темы 18-27): уравнение переноса, параболическое и гиперболическое уравнения (как одномерные, так и многомерные), а также интегральные уравнения. Эти методы позволяют решать сложные проблемы квантовой механики, газодинамики, физики реакторов и др.
Большое внимание в курсе обращено на получение оценок погрешности математических методов. Этого удается добиться благодаря систематическому применению сеточных методов с многократными сгущениями сеток. В курс включены те методы, которые отличаются наиболее высокой надежностью и позволяют проводить компьютерные вычисления при минимальном контроле со стороны пользователя.
Разбор всех численных схем сопровождается примерами с их программной реализацией на языке программирования Python.
Видеозаписи текущей версии курса доступны на портале Teach-in по ссылке https://teach-in.ru/course/numerical-methods-lukyanenko. План курса полностью соответствует плану курса, опубликованному на сайте кафедры математики и продублированному на этом портале.
План курса:
Лекция 1.
Нелинейные уравнения.
Лекция 2.
Решение систем линейных алгебраических уравнений.
Лекция 3.
Численное интегрирование.
Лекция 4.
Вычисления с контролем точности. Апостериорные оценки погрешности.
Лекция 5.
Вычисление несобственных интегралов.
Лекция 6.
Интерполяция функций.
Лекция 7.
Аппроксимация функций.
Лекция 8.
Численное дифференцирование.
Лекция 9.
Методы минимизации.
Лекция 10.
Поиск собственных значений.
Лекция 11.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем: основы, схема Эйлера.
Лекция 12.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем: семейство схем Рунге-Кутты.
Лекция 13.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем: вычисления с контролем точности.
Лекция 14.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем: автоматический выбор шага.
Лекция 15.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем: жесткие задачи.
Лекция 16.
Дифференциально-алгебраические системы.
Лекция 17.
Краевые задачи.
Лекция 18.
Уравнения в частных производных
Лекция 19.
Уравнения в частных производных параболического типа
Лекция 20.
Уравнения в частных производных псевдопараболического типа.
Лекция 21.
Уравнения в частных производных: вычисления с контролем точности.
Лекция 22.
Уравнения в частных производных гиперболического типа.
Лекция 23.
Уравнения в частных производных: вычисления на квазиравномерных сетках.
Лекция 24.
Интегро-дифференциальные уравнения.
Лекция 25.
Бикомпактные схемы и слоистые среды.
Лекция 26.
Интегральные уравнения.
Лекция 27.
Уравнения в частных производных: многомерные уравнения.
