«Перенормировки и ренормгруппа в квантовой теории поля»
Описание курса:
В курсе излагаются методы регуляризации, перенормировки и ренормгруппы в квантовой теории поля (КТП). Владение этими методами необходимо для получения теоретических предсказаний в КТП за рамками ведущего порядка теории возмущений, которые можно сравнивать с экспериментальными данными. Дело в том, что соответствующие (петлевые) квантовые поправки, как правило, даются расходящимися интегралами, поэтому наивное вычисление приводит к бессмысленному ответу. Для определенного класса моделей КТП решение этой важнейшей проблемы было найдено. Оно основано на применении методов регуляризации и перенормировки. Петлевые интегралы регуляризуют, т.е. делают их конечными, и проводят промежуточные вычисления в регуляризованной теории. Затем расходимости устраняют, переопределяя (перенормируя) параметры и поля, входящие в исходный лагранжиан теории. Разумеется, оба этих этапа допускают определенный произвол: могут быть использованы различные методы регуляризации и схемы вычитания (наряду с расходимостями можно вычитать и конечные члены). С помощью метода ренормгруппы удается исследовать схемный произвол и получать улучшенные разложения по теории возмущений. Кроме того, метод ренормгруппы позволяет анализировать поведение эффективной константы связи при изменении энергетического масштаба. Например, эффективная константа сильных взаимодействий убывает с ростом энергии. Данный эффект называется асимптотической свободой, а за его открытие Д. Гроссу, Д. Политцеру и Ф. Вильчеку была присуждена в 2004 году Нобелевская премия по физике. Цель данного курса – предоставить базовые знания по методам регуляризации, перенормировки и ренормгруппы и сформировать навык их применения на практике конкретных вычислений в широком классе моделей КТП. Лекционный материал сопровождается семинарскими занятиями, на которых студенты учатся использовать приобретенные на лекциях знания для решения задач. Данный курс рассчитан на студентов 4 курса, специализирующихся в области теоретической физики, физики высоких энергий и элементарных частиц, знакомых с основами квантовой теории поля.
План курса:
Лекции 1-2
N-точечные функции Грина в квантовых теориях поля со взаимодействием. Формальное построение ряда теории возмущений для N-точечной функции Грина в рамках операторного подхода. Интерпретация полученного ряда на языке диаграмм Фейнмана на примере вкладов низших порядков в двухточечную и четырехточечную функции Грина в теории ϕ^4. Факторизация и сокращение вкладов вакуумных диаграмм.
Лекции 3-4
Функции Грина в импульсном представлении. Правила Фейнмана для вычисления вкладов в функции Грина в импульсном представлении на примере теории ϕ^4. Ампутированные и одночастично-неприводимые диаграммы. Собственная энергия и (ампутированные) вершинные функции в теории ϕ^4. Поворот Вика. Однопетлевые вычисления с использованием регуляризации ультрафиолетовым обрезанием в теории ϕ^4. Параметризация Фейнмана. Регуляризация Паули–Вилларса.
Семинары 1-2
Решение задач по темам лекций 1-4. (Правила Фейнмана для вычисления вкладов в функции Грина в импульсном представлении а) в теории со взаимодействием Юкавы, ϕ^3, ϕ^4, а также б) в скалярной электродинамике. Вычисление множителей симметрии диаграмм. Доказательство общей формулы для введения параметров Фейнмана. Вычисление однопетлевых диаграмм с использованием регуляризации Паули–Вилларса.)
Лекции 5-6
Размерная регуляризация. Анализ размерностей полей и параметров лагранжиана в d-мерном пространстве-времени. Вычисление петлевых интегралов в d-мерном пространстве-времени. Условная степень расходимости диаграмм. Перенормируемые, суперперенормируемые и неперенормируемые теории.
Лекции 7-8
Однопетлевая перенормировка теории ϕ^4 в схеме вычитаний на массовой поверхности (on-shell схема). Условия перенормировки в схеме вычитания в импульсном пространстве (MOM-схема).
Лекция 9
Схема (модифицированных) минимальных вычитаний. Метод контрчленов.
Семинары 3-4
Решение задач по темам лекций 5-9. (Однопетлевая перенормировка теории со взаимодействием Юкавы, ϕ^3, ϕ^4 с использованием размерной регуляризации.)
Лекции 10-11
Пример двухпетлевых вычислений в теории скалярного поля с использованием размерной регуляризации. Обсуждение перенормировки в высших порядках, R-операция.
Семинар 5
Решение задач по темам лекций 10-11. (Вычисление сингулярных частей двухпетлевых диаграмм в безмассовом пределе, примеры применения R-операции.)
Лекция 12
Метод ренормгруппы. Уравнение Овсянникова–Каллана–Симанчика в теории скалярного поля при использовании размерной регуляризации. Ренормгрупповые функции: β-функция и аномальные размерности. Поведение функций Грина при масштабных преобразованиях импульсов.
Лекция 13
Методы вычисления ренормгрупповых функций в MS-подобных схемах. Рекуррентные соотношения ‘т Хоофта, структура констант перенормировки.
Лекция 14
Схемная зависимость коэффициентов пертурбативного разложения ренормгрупповых функций. Уравнение Гелл-Манна–Лоу, поведение эффективной константы связи. Полюс Ландау. Асимптотическая свобода. Фиксированные точки.
Семинар 6
Решение задач по темам лекций 12-14. (Вычисление β-функций и аномальных размерностей в однопетлевом приближении в теории со взаимодействием Юкавы, ϕ^3, ϕ^4. Частные решения рекуррентных соотношений ‘т Хоофта. Получение ведущих асимптотик функций Грина.)
Лекции 15-16
Анализ расходимостей диаграмм в квантовой электродинамике (КЭД). Теорема Фарри. Тождества Уорда–Такахаши (доказательство в операторном подходе). Поперечность поляризационного оператора фотона. Соотношение между трехточечной вершинной функцией и двухточечной фермионной функцией Грина. Анализ расходимости четырехточечной фотонной вершинной функции.
Лекции 17-18
Однопетлевая перенормировка КЭД в схеме вычитаний на массовой поверхности (on-shell) и в схеме минимальных вычитаний (MS). Доказательство того, что Z_1=Z_2 в on-shell и MS схемах во всех порядках теории возмущений. Ренормгрупповые функции в КЭД; влияние выбора калибровки.
Семинары 7-8
Решение задач по темам лекций 15-18. (Тождества Уорда–Такахаши в скалярной электродинамике. Однопетлевая перенормировка скалярной электродинамики в MS схеме и вычисление ренормгрупповых функций.)
Лекция 19
Отличия в диаграммных техниках вычисления вкладов в функции Грина и амплитуды рассеяния. Редукционная формула Лемана–Симанчика–Циммермана. Перенормировка амплитуд в КЭД.
Семинар 9
Решение задач по теме лекции 19. (Аномальный магнитный момент электрона.)
Лекции 20-21
Неабелевы калибровочные теории. Правила Фейнмана. Константы перенормировки и контрчлены.
Лекции 22-23
Вычисление однопетлевой β-функции в неабелевой калибровочной теории. Метод фонового поля. Асимптотическая свобода.
Семинары 10-11
Решение задач по темам лекций 20-23. (Вычисление расходящихся частей однопетлевых диаграмм в неабелевой калибровочной теории с использованием размерной регуляризации.
