Мостовой Сергей Дмитриевич
«Диаграммы Фейнмана в статистической физике»
Описание курса:
В курсе излагаются методы расчета термодинамических и статистических свойств систем большого числа частиц при помощи корреляционных функций и функций Грина, вычисленных в технике вторичного квантования. Применение т.н. диаграммной техники служит удобным способом написания необходимых (весьма сложных) выражений для наблюдаемых, позволяет гибко анализировать рассматриваемые явления, выделять те вклады в значения наблюдаемых из общих рядов, которые играют важную роль при рассмотрении тех или иных сторон явления.
Сам подход диаграмм Фейнмана известен с середины XX в. и связан с именами Р. Фейнмана, Ф. Дайсона и Дж. Швингера. Этот метод нашел широкое применение в области КТП и ядерной физике, где стал стандартом де-факто выражения идей и выполнения вычислений. Основная идея заключается в сопоставлении сомножителям в слагаемых ряда теории возмущений пропагаторов КТП элементов диаграмм, комбинируя которые можно удобно получать новые алгебраические выражения для дальнейших вычислений.
Явления статистической физики также возможно описывать в терминах операторов рождения-уничтожения, корреляционных функций и функций Грина, что открывает путь для развития диаграммной техники и в этой области. Подобные вычисления были проведены и показали возможность расчета тепловых и статистических свойств таких систем, как электронный газ (в т.ч. неидеальный), фононов, нуклонов.
Обычно общие учебные курсы излагают диаграммы Фейнмана именно в связи с задачами физики элементарных частиц. Целью курса является углубление представления студентов относительно возможности применения диаграммной техники, обучение способам описания систем многих частиц в терминах корреляционных функций, знакомство с более широким кругом задач статистической физики, которые могут быть решены аналитически. Например, возможно описание таких актуальных тем как квантовые точки и туннелирование в твердых телах и графене. Корреляционные функции используются как важный инструмент исследования систем в режиме сильной связи.
Данный курс рассчитан на студентов 2 курса магистратуры и 6 курса специалитета, специализирующихся в области теоретической физики, статистической физики и физики высоких энергий, знакомых с основами квантовой теории и статистической физики.
План курса
Лекция 1
Введение. Предмет курса. Одночастичные состояния. Представление вторичного квантования.
Лекция 2
Одночастичные операторы в представлении вторичного квантования. Двучастичные операторы. Полевые операторы.
Лекция 3
Электронный газ в модели желе. Эффективный гамильтониан. Предел высокой плотности. 1 порядок теории возмущений. Несостоятельность 2 и более высоких порядков теории возмущений.
Лекция 4
Функции Грина действительного времени. Представление Гейзенберга. Квантово-механический вид распределения Гиббса. Определения функций Грина. Физический смысл функций Грина. Спин-независимый гамильтониан, трансляционно-инвариантный потенциал. Пример: функция Грина идеальной системы.
Лекция 5
Теория линейного отклика. Уравнение движения для причинной функции Грина.
Лекция 6
Пример: квантовая точка с 1 уровнем.
Лекция 7
Функции Грина мнимого времени. Определения. Периодичность. Связь с термодинамическими характеристиками. Связь с функциями Грина вещественного времени.
Лекция 8
Пример: невзаимодействующая система. Система с взаимодействием. U-оператор. Функция Грина через U-оператор. Средние по невзаимодействующей системе.
Лекция 9
Функция Грина в 1 порядке теории возмущений. Сокращение несвязных диаграмм. Топологически различные диаграммы. Правила Фейнмана.
Лекция 10
Пример: 1 порядок т.в. Собственная энергия.
Лекция 11
Электронный газ. 1 порядок т.в. 2 порядок т.в. Степень расходимости диаграмм.
Лекция 12
Суммирование R-диаграмм. Экранировка кулоновского взаимодействия. Функция корреляции плотности. Пример: плазмоны.
Лекция 13
Описание кристаллов. Электроны в периодическом потенциале. Фононы. Электрон-фононное взаимодействие в приближении жестких ионов.
Лекция 14
Функции Грина свободного фонона. Правила Фейнмана для электрон-фононного взаимодействия.
Лекция 15
Собственная энергия электрона. Сверхпроводники. Общие свойства.
Лекция 16
Уравнение Лондонов. Эффективное электрон-электронное взаимодействие. Куперовские пары.
Лекция 17
BCS-теория. Подход функций Грина. Диаграммный подход. Определение температуры перехода.
