Никитин Николай Викторович

«Матрица плотности и ее применение в квантовой механике

Описание курса:

Цель курса: дать студентам достаточно широкий и универсальный набор представлений о формализме матрицы плотности, который можно применять в квантовой механике, статистической физике, квантовой теории информации и физической кинетике. В курсе обсуждаются как общие фундаментальные вопросы, так и конкретные вычислительные приемы. Для лучшего усвоения лекционного материала студентам будет предложен набор задач для самостоятельного решения. Данный курс желательно слушать после освоения курсов теоретической механики и квантовой теории.

План курса:

Чистые и смешанные состояния. Матрица плотности чистого состояния и ее свойства. Как строить матрицу плотности чистого состояния? Матрица плотности смешанного состояния и ее свойства. Примеры матриц плотности. Как проверять положительную полуопределенность?

Лекция 2

Степень совпадения или fidelity. Связь степени совпадения с вероятностью измерения того или иного значения спектра наблюдаемой. Простой пример, который показывает, почему смешанное состояние нельзя свести к чистому. Физический смысл элементов матрицы плотности.

Лекция 3

Терминология «Московской школы». Матрица плотности смешанного состояния в координатном преставлении. Общие правила и теоремы для вычисления средних. Неоднозначность разложения матрицы плотности смешанного состояния в сумму по чистым состояниям или унитарная свобода в представлении матрицы плотности.

Лекция 4

Альтернативный набор условий для матрицы плотности чистого состояния. Нерелятивистская матрица плотности спина s=1/2. Явный вид матриц плотности спина s=1/2 для проекций ±1/2 на произвольную ось. Задача о максимальной вероятности безошибочного определения двух чистых состояний со спином s=1/2 каждое.

Лекция 5

Разложение матрицы плотности NxN по генераторам группы SU(N). Теорема Глизона (без доказательства). Глизоноподобная теорема К. Фукса (с полным доказательством). Матрица плотности и постулаты квантовой механики (Постулат N1 и Постулат N2).

Лекция 6

Количественное сравнение квантовых состояний: степени совпадения и метрики. Степень совпадения по Ульману. Метрика Гильберта-Шмидта, следовая метрика, метрика Буреса, метрика Федечкина, относительная энтропия Кульбака-Лейблера. Основные свойства степеней совпадения и метрик.

Лекция 7

Как находить степень совпадения по Ульману? Как вычислять следовую метрику? Простой пример использования метрики Федечкина. Вычисление функций от матрицы плотности. Примеры вычисления остальных степеней совпадения и метрик. Физические основания введения метрик.

Лекция 8

Матрица плотности составной системы. Квантовое происхождение вероятностей в разложении для матрицы плотности. Альтернативный способ вычисления частичного следа.

Лекция 9

Факторизация матрицы плотности. Сепарабельное состояние для матрицы плотности. Разложение Шмидта и расширение до чистого состояния. Разложение Шмидта для состояний Белла. Число Шмидта и запутанные состояния. Невозможность разложения Шмидта для трех и более подсистем.

Лекция 10

Явный вид матриц плотности состояний Белла. Запись матриц плотности состояний Белла через прямые произведения матриц Паули. Общий вид матриц плотности двух спинов s=1/2.

Лекция 11

Зачем нужны критерии сепарабельности? Критерий сепарабельности Переса-Городецких. Как выполнять частичное транспонирование? Проверка критерия сепарабельности Переса-Городецких на состоянии Вернера. Редукционное условие сепарабельности. Проверка редукционного условия на состоянии Вернера. Связь между матрицей плотности квантовой системы и ее подсистем.

Лекция 12

Условная матрица плотности и формула фон Неймана. Редукция матрицы плотности и парадокс друга Вигнера. Условная и совместная вероятности в классической и квантовой теориях. Теорема Нельсона. Сходства и различия условных вероятностей в классической и квантовой теориях.

Лекция 13

Правило Макса Борна и проекционный постулат Дирака-фон-Неймана. Селективные и неселективные измерения. Как быть, если классический измерительный прибор не может измерить весь спектр наблюдаемой? Постулат о среднем значении оператора в терминах матрицы плотности. Модель измерения по фон Нейману на языке матрицы плотности.

Лекция 14

Нелокальность НКМ (нерелятивистской квантовой механики) на микроскопическом уровне. Локальность НКМ на макроскопическом уровне и теорема Эберхарда. Теорема Эберхарда и копенгагенская интерпретация квантовой механики. Локальность НКМ на макроуровне и теорема о невозможности клонирования произвольного чистого состояния. Попытка обхода теоремы о невозможности клонирования. Правило Людерса и локальность НКМ на макроуровне.

Лекция 15

Суперпозиция vs смесь. Пространство Гильберта-Шмидта для матриц плотности. Свойства данного пространства. Его граница. Принцип суперпозиции на языке матрицы плотности. Декогеренция и запутанные состояния.

Лекция 16

Эволюция матрицы плотности во времени. Квантовое уравнение Лиувилля или уравнение фон Неймана. Теорема «о сохранении чистоты». Решение уравнения фон Неймана, когда гамильтониан системы явно зависит от времени. Решение для независящего от времени гамильтониана. Аналог стационарного уравнения Шредингера в случае смешанных состояний. Мнимое несоответствие между различными описаниями эволюции квантовой системы. Уравнение Блоха.

Лекция 17

Квантовое уравнение Лиувилля (фон Неймана) в представлении генераторов группы SU(N). Квантовое уравнение Лиувилля (фон Неймана) в матричном представлении. Квантовое уравнение Лиувилля (фон Неймана) в координатном представлении. Пример: матрица плотности свободной частицы. Оператор производной оператора по времени для смешанных состояний. Почему уравнение фон Неймана называют квантовым уравнением Лиувилля? Решение классического уравнения Лиувилля. Интегралы движения. Интегральная форма квантового уравнения Лиувилля (фон Неймана).

Лекция 18

Представление взаимодействия для чистых состояний. Квантовое уравнение Лиувилля (фон Неймана) в представлении взаимодействия. Решение квантового уравнения Лиувилля (фон Неймана) в представлении взаимодействия. «Золотое правило» Э. Ферми. Обобщенные правило Людерса и формула фон Неймана. Теорема Байеса с точки зрения обобщенного правила Людерса. Теория приблизительных измерений. Формула Ааронова-Бергмана-Лейбовица. Антизенон. Совместные истории Гриффица.