Никулин Александр Анатольевич
«Асимптотические методы в нелинейных задачах математической физики»
Описание курса:
Курс посвящен алгоритмике поиска асимптотического представления решения задач с малым параметром при старшей производной, основанному на методе малого параметра. В область рассмотрения курса входят задачи, решения которых содержат области с большими градиентами, в случае, когда ширина таких областей много меньше, чем ширина рассматриваемой области. Это задачи с пограничными слоями и с внутренними переходными слоями (когда подобласть с большим градиентом решения находится на достаточном удалении от границ рассматриваемой области). Такие задачи возникают при математическом моделировании различных физических явлений при наличии пространственной неоднородности среды, например, обтекания воздушным потоком слабо проницаемого растительного препятствия, изменения физических величин, таких как температура или плотность, на границах разделов сред или поведения автоволновых фронтов в задачах биофизики. Наличие пограничного слоя или внутреннего переходного слоя позволяет ввести малый параметр, равный отношению ширины переходного слоя к ширине рассматриваемой области, и строить асимптотическое приближение решения в виде разложения по малому параметру. Аналитические методы нахождения приближенного решения весьма актуальны для задач с резко изменяющимися решениями, поскольку могут дать информацию об области больших градиентов, не опираясь на результат численного счета, которому, в этом случае, не всегда можно доверять. Асимптотические методы являются современными, мощными, но трудоемкими и требуют хороших базовых знаний по дифференциальным уравнениям, теории устойчивости и математическому анализу, тем самым являясь естественным применением математического аппарата, приобретаемого студентами младших курсов физического факультета МГУ.
Основной целью курса является освоение слушателями навыков получения приближенных решений задач с внутренними переходными или пограничными слоями с использованием алгоритма Васильевой, определение рамок его применимости. Для достижения этой цели решаются следующие задачи: составление плана лекций «от простого к сложному», разбор большого количества конкретных примеров, проведение двух этапов зачета в форме докладов, во время которого каждый из студентов представляет полученные им навыки построения асимптотических приближений на примере конкретных задач. Курс состоит из вводной части и двух больших подразделов – задача Коши и краевая задача. В каждом подразделе рассматриваются сначала примеры построения асимптотических приближений для линейных задач, затем для нелинейных, и наконец, для задач в общей постановке. Так, поэтапно, следуя от простого к сложному, студенты осваивают трудоемкую методику построения асимптотических приближений решений. В дальнейшем эти навыки окажутся полезными при освоении ими более сложных обязательных курсов, которые читаются на кафедре математики физического факультета МГУ, таких как «Метод дифференциальных неравенств в нелинейных задачах» проф. Нефедова Н.Н. для магистров первого года обучения или спецкурса для аспирантов «Контрастные структуры в сингулярно возмущенных уравнениях» проф. Нефедова Н.Н. В настоящее время асимптотические методы быстро развиваются, охватывая все новые классы задач. Это связано с особенной эффективностью этих методов для анализа решений и разработки новых моделей физических явлений в области больших градиентов.
План курса:
Занятие 1.
Регулярные и сингулярные возмущения. Примеры регулярно и сингулярно возмущенных задач.
Занятие 2.
Асимптотическое приближение по малому параметру. Асимптотические и сходящиеся ряды. Понятие асимптотического приближения по невязке (формальная асимптотика).
Занятие 3.
Построение формальных асимптотические приближений по малому параметру решений регулярно возмущенных задач.
Занятие 4.
Понятие о методе дифференциальных неравенств и его применение для обоснования асимптотики в случае регулярно возмущенной задачи.
Занятие 5.
Теорема Тихонова. Присоединенная система. Область влияния решения вырожденной задачи.
Занятие 6.
Примеры построения асимптотического разложения решения задачи Коши для тихоновской системы.
Занятие 7.
Алгоритм построения асимптотического разложения решения задачи Коши для тихоновской системы. Теорема Васильевой (без доказательства).
Занятие 8.
Первый этап зачета. Асимптотическое приближение решений начальных задач. Зачет проводится в форме научного доклада студента с презентацией решения заданной ему задачи.
Занятие 9.
Краевые задачи с пограничными и внутренними переходными слоями. Построение асимптотического приближения решения с пограничным слоем краевой задачи Дирихле для линейного уравнения.
Занятие 10.
Нелинейные краевые задачи. Построение асимптотического приближения решения с пограничным слоем нелинейной краевой задачи Дирихле (квадратичная нелинейность). Нулевое приближение. Фазовая плоскость.
Занятие 11.
Построение асимптотического приближения решения с пограничным слоем краевой задачи Дирихле для уравнения с квадратичной нелинейностью. Первое приближение.
Занятие 12.
Общий алгоритм построения асимптотического приближения решения с пограничным слоем нелинейной краевой задачи Дирихле.
Занятие 13.
Алгоритм построения асимптотического приближения решения с пограничным слоем нелинейной краевой задачи Неймана.
Занятие 14.
Построение асимптотического приближения решения краевой задачи с внутренним переходным слоем в виде контрастной структуры типа ступеньки (случай кубической нелинейности). Нулевое приближение. Фазовая плоскость.
Занятие 15.
Построение асимптотического приближения решения краевой задачи в виде контрастной структуры типа ступеньки в случае кубической нелинейности. Первое приближение.
Занятие 16.
Построение асимптотического приближения решения в виде движущегося фронта для нелинейного уравнения «реакция-диффузия» в случае кубической нелинейности. Формула для скорости движения фронта.
Занятие 17.
Второй этап зачета. Асимптотическое приближение решений краевых задач. Зачет проводится в форме научного доклада студента с презентацией решения заданной ему задачи.
