Овчинников Алексей Витальевич
«Основы алгебры для физиков»
Описание курса:
Курс посвящен знакомству с базовыми алгебраическими структурами, знание которых необходимо для понимания современных методов теоретической и математической физики. Курс предполагает ознакомление слушателей с элементами общей алгебры — понятиями группы, кольца, поля и подробное изучение примеров указанных алгебраических систем. Важное место в курсе отводится знакомству с теорией групп, которые возникают в теоретической физике как группы преобразований симметрии физических систем. В свою очередь, на использование симметрий основаны наиболее мощные математические методы изучения сложных физических систем. Курс рассчитан на два семестра.
План курса:
Лекция 1
Основные теоретико-множественные понятия. Соответствия, отношения, отображения.
Лекция 2
Конечные множества: элементарная комбинаторика.
Лекция 3
Бесконечные множества: мощность, «разные типы» бесконечности (биекции, счетные и несчетные множества, теорема Кантора—Бернштейна).
Лекция 4
Отношение эквивалентности. Факторизация.
Лекция 5
Бинарные операции на множестве, их свойства (коммутативность, ассоциативность).
Лекция 6
Определения и простейшие примеры групп, колец, полей (подгрупп, подколец, подполей). Изоморфизм.
Лекция 7
Группы симметрий в геометрии и в физике.
Лекция 8
Кольца вычетов вычетов. Кольцо целых чисел. Циклические группы.
Лекция 9
Группы преобразований. Симметрические группы (группы перестановок).
Лекция 10
Понятия смежных классов, нормальных подгрупп, факторгрупп. Примеры
Лекция 11
Гомоморфизмы. Первая теорема о гомоморфизме. Примеры.
Лекция 12
Матричные группы.
Лекция 13
Кольцо многочленов. Идеалы.
Лекция 14
Расширения полей при помощи корней многочлена.
Лекция 15
Векторные пространства: определение, примеры.
Лекция 16
Базис и координаты, размерность.
Лекция 17
Линейные отображения векторных пространств.
Лекция 18
Двойственное пространство. Линейные формы.
Лекция 19
Аффинные пространства: определение, примеры.
Лекция 20
Понятия ассоциативной алгебры и алгебры Ли. Примеры.
Лекция 21
Комплексные числа в геометрии.
Лекция 22
Группа движений евклидовой плоскости. Группа вращений SO(2).
Лекция 23
Группа вращений евклидова пространства SO(3). Углы Эйлера.
Лекция 24
Алгебра кватернионов. Описание вращений кватернионами.
Лекция 25
Алгебра Ли группы вращений.
Лекция 26
Спинорное представление евклидова пространства. Унитарная группа.
Лекция 27
Роль групп преобразований в геометрии. Эрлангенская программа Клейна.
Лекция 28
Аффинная геометрия.
Лекция 29
Проективные пространства. Двойственность.
Лекция 30
Проективная геометрия.
Лекция 31
Кососимметричность. Понятие внешней формы.
Лекция 32
Резервная лекция.
