«Основы функционального анализа»
Описание курса:
Курс состоит из двух частей. В осеннем семестре излагаются необходимые основы функционального анализа: теория меры и интеграл Лебега, некоторые факты о пространствах Лебега; основные факты о метрических, топологических, банаховых и гильбертовых пространствах. В весеннем семестре преимущественно рассматривается применение функционального анализа к исследованию задач математической физики, различные обобщения понятия решения: пространства Соболева и обобщённые функции. Основы функционального анализа необходимо знать любому специалисту-математику, в т. ч. специалисту по прикладной математике, т. к. ныне его понятия и методы используются даже в такой, казалось бы далёкой от функционального анализа области прикладной математики, как численные методы. Необходимость же его изучения для специалиста-теоретика очевидна. Также в настоящее время продолжаются исследования различных уравнений, в т. ч. неклассических, методами функционального анализа. При этом, в частности, используются различные теоремы о неподвижной точке. Активно применяются понятия теории обобщённых функций, в т. ч. понятие фундаментального решения. Используется построение фундаментального решения методом преобразования Фурье и Лапласа. Соответствующие методы более специфичны и излагаются в весенней части курса. Курс преследует две основные цели. Это 1) изучение классического функционального анализа и изучение теории обобщённых решений (как в смысле пространств Соболева, так и в смысле обобщённых функций) как таковых, 2) обобщение и закрепление понятий, идей и методов анализа, первоначальное знакомство с которыми состоялось в курсе мат. анализа, знакомство с новыми идеями, развитие математической интуиции и способности к математическому творчеству.
Для достижения этих целей решаются следующие задачи:
1) изложение основной теории,
2) обеспечение студентов задачами (как упражнениями, так и задачами теоретического характера), способствующими как усвоению основных фактов, так и более глубокому постижению теории и овладению идеями и методами функционального анализа (и отчасти общематематическими).
План осеннего курса:
Семинар 1 (Вводный)
Элементы наивной теории множеств: понятия множества, взаимно однозначного соответствия, счётного и несчётного множеств, теоремы Кантора-Бернштейна и Кантора.
Лекция 1
Метрические пространства. Замыкание, плотность. Свойства замыкания.
Лекция 2
Метрические пространства (МП). Полнота, конструкция пополнения. [Здесь используются не классы эквивалентности фундаментальных последовательностей, а подпространство пространства ограниченных функций на данном МП - идея интуитивно менее очевидная, но оригинальная и технически простая.] Свойства полных МП: теоремы о вложенных шарах, о категориях, о равномерной ограниченности.
Семинар 2
Примеры МП. Контрпримеры к "очевидным фактам". Внутренние, граничные, предельные, изолированные точки, точки касания.
Лекция 3
Непрерывность в МП (в метрических и топологических терминах).
Семинар 3
Метрические пространства, продолжение. Принцип сжимающих отображений и другие вопросы.
Лекция 4
Топологические пространства. Определение, понятие базы, условия, при которых система множеств является базой данной или какой-либо топологии, теорема о фундаментальной системе окрестностей.
Семинар 4
Топологические пространства (ТП), обсуждение. (В частности, примеры топологий на конечных множествах, обсуждение аксиом счётности и отделимости и их связи с метризуемостью, роль последовательностей в ТП со счётной локальной базой.)
Лекции 5-6, Семинар 5
Компактность, основные идеи. (Различные метрические и топологические определения компактности и связь между ними. [Здесь же обсуждается наличие счётной базы у сепарабельного МП и возможность извлечения счётного подпокрытия из произвольного открытого покрытия.] Гильбертов кирпич. Компактные множества в метрических пространствах, предкомпактность. Теоремы Вейерштрасса (непрерывный образ компактного ТП есть компактное ТП) и Кантора. Эквивалентность норм на конечномерном линейном пространстве. Замкнутость конечномерного линейного многообразия в произвольном банаховом пространстве. Теорема Арцела [с подробным обсуждением диагональной процедуры]. Теорема Пеано о разрешимости задачи Коши, неединственность её решения.)
Лекция 7-8-9
Мера множеств на плоскости. Основные свойства меры Лебега.
Семинары 6-7
Основные свойства меры Лебега, продолжение (непрерывность меры Лебега). Отношение эквивалентности.
Лекции 10-11-12-13
Интеграл Лебега. Его основные свойства. Теоремы о предельном переходе в интеграле Лебега (т. Лебега, т. Беппо Леви, лемма Фату).
Пространства Лебега.
Семинар 8
Интеграл Лебега. Пространства Лебега. (В частности, даются контрпримеры к теореме Лебега и лемме Фату, когда то или иное условие нарушено.)
Лекция 14
Банаховы пространства. (Общая теория, примеры, пространство ограниченных линейных операторов, линейные функционалы, слабая и *-слабая сходимость.)
Семинар 9
Банаховы пространства и линейные функционалы. (Сходимость абсолютно сходящегося ряда. Вычисление норм линейных функционалов.)
Лекция 15
Банаховы пространства, продолжение. (Теорема Хана - Банаха и её следствия. Второе сопряжённое пространство. Теорема Банаха - Штейнгауза.)
Лекция 16
Банаховы пространства, продолжение. (Сопряжённые пространства: (l^p)*~=l^q. Применение теоремы Хана - Банаха и следствий: нерефлексивность l^\infty, L^\infty, C.)
Лекция 17
Банаховы пространства, продолжение. (Спектральная теория линейных операторов в банаховых пространствах, банаховы алгебры, функции от операторов; проекторы, отвечающие замкнутым компонентам спектра.)
Семинар 10
Спектральная теория в банаховом пространстве, обсуждение. (Вычисление норм операторов, теоремы об интеграле Данфорда, вычисление функций от операторов.)
Лекция 15
Гильбертовы пространства. Общая теория. (Неравенство Коши - Буняковского, теорема Беппо Леви о проекции, теорема об ортогональном разложении, замкнутые и полные ОНС и абстрактный ряд Фурье.)
Лекция 16
Ограниченные линейные операторы в гильбертовом пространстве. (Теорема Фреше - Рисса, полуторалинейные формы и теорема Лакса - Мильграма, положение спектра ограниченного самосопряжённого оператора и его связь с нормой оператора, спектральный радиус ограниченного самосопряжённого оператора.)
Семинар 11
Гильбертовы пространства. (Равенство параллелограмма как н. и д. условие евклидовости, поляризационное тождество в комплексных гильбертовых пространствах и восстановление симметричной билинейной формы в вещественных евклидовых пространствах, замкнутые и незамкнутые линейные многообразия на примере гильбертовых пространств, свойства сопряжённого оператора и конкретные примеры на сопряжённый оператор, ортопроекторы. Спектральное разложение самосопряжённого оператора.)
