«Критические явления в статистической физике»
Описание курса:
Курс «Критические явления в статистической физике» посвящен изучению одной из центральных тем современной статистической физике – исследованию явлений, происходящих в больших сложных статистических системах в окрестности точки фазового перехода. Эти явления играют важнейшую роль не только в физике конденсированного состояния вещества, но также в биофизике, физической химии, геофизике, социальных и экономических науках. Знание природы критических явлений, их основных особенностей, позволяет понять многие важные явления в таких системах, например явление самоорганизации. Основная цель Курса состоит в выявлении таких основных особенностей критических явлений, усвоению базовых аналитических и численных методов их исследований, осознанию общности критических явлений, возникающих в различных задачах современной науки.
Важнейшей вехой в развитии современной статистической физики стало открытие в семидесятых годах прошлого века явления конформной симметрии флуктуаций статистических моделей в критической точке. Это явление заложило основу современных представлений о фазовых явлениях в статистической физике и позволило классифицировать классы универсальности фазовых переходов в терминах конформных теорий поля. Этот теоретический результат сыграл огромную роль в понимании физики в окрестности критической точки, и стал важнейшем шагом в понимании генерации сложности и явления критической самоорганизации в открытых диссипативных статистических моделях. В рамках курса изучаются как аналитические, так и численные методы исследования критических явлений в окрестности критической точки. Основной акцент в курсе делается на метод ренор-группы, а также на численные методы на основе метода Монте-Карло. В качестве примера рассматриваются критические явления, имеющие непосредственное приложение к реальным физическим системам: критическая агрегация дефектов, фолдинг полимера в критической среде, критической обучение стохастической нейронной сети и др. Прослушивание данного Курса даст студенту не только общие представления о критических явлениях, но также даст практические навыки их исследования, включая самые современные алгоритмы численного моделирования.
План курса:
Лекция 1
Фазовые явления в статистических моделях. Спонтанное нарушение симметрии. Фазовый переход в модели Изинга. Метод дуальности в статистических моделях. Метод Крамерса-Ванье.
Лекция 2
Теория фазовых переходов Ландау. Поведение коррелятора спинов в теории фазовых переходов Ландау. Поведение корреляционной длины на фазовом переходе. Масштабная инвариантность. Поведение корреляторов в масштабно-инвариантных теориях.
Лекция 3
Гипотеза о скейлинге. Подрешеточная и блочная ренорм-группа в модели Изинга. Скейлинговые законы для критических индексов.
Лекция 4
Обратная ренорм-группа. Нейронные сети, осуществляющие шаги прямой и обратной ренорм-группы.
Лекция 5
Квантовая теория на решетке и спиновые модели. Связь $\phi^4$ модели скалярного поля и модели Изинга. Ренорм-групповой анализ в теории поля. Уравнение ренорм-группы, $\beta$-функция.
Лекция 6
Топологический БКТ фазовых переход в XY модели. Разложение по высокой и низкой температуре в XY модели. Природа фазового перехода и нестабильность в XY модели.
Лекция 7
Дуальные степени свободы в XY модели, магнитные монополи. Эффективное действие для магнитных монополей.
Лекция 8
Методы Монте-Карло исследования фазовых явлений в статистических моделях.
Лекция 9
Критические явления на примере дефектов структуры спиновых моделей. Критическая агрегация дефектов, фолдинг полимера в критической среде, критический эффект Казимира.
Лекция 10
Основы теории клеточных автоматов. Классификация клеточных автоматов. Приложение клеточных автоматом в моделировании физических, биологических, геологических, экологических, социальных и экономических моделей.
Лекция 11
Критические клеточные автоматы. Методы ренорм-группы в клеточных автоматах. Ренорм-групповой анализ модели иерархий.
Лекция 12
Клеточные автоматы на узлах и линках. Модель решеточного газа. Линковые спиновые модели и калибровочная симметрия. Калибровочные спиновые модели.
Лекция 13
Наблюдаемые в калибровочных спиновых моделях. Фазовые переходы в калибровочных спиновых моделях. Закон площадей Вильсона.
Лекция 14
Информационные клеточные автоматы. Нейронные сети на основе решеточной моделей спинового стекла. Методы обучения нейронных сетей.
Лекция 15
Нейронная сеть Хопфилда и ее развитие. Распознавание и проблема ложных образов. Стохастические нейронные сети.
Лекция 16
Нейронная машина Больцмана. Обучение в окрестности критической точки. Нейронная сеть Бака. Самоорганизация в стохастической нейронной сети.
Лекция 17
Итоговое занятие. Разбор проектов, выполняемых студентами в рамках Курса.
