«Введение в динамику сложных систем»
Описание курса:
Новый курс «Введение в динамику сложных систем» посвящен одной из самых актуальных проблем современной науки – описанию поведения больших, сложно организованных систем, чьи свойства не исчерпываются свойствами составляющих эти системы подсистем. Для таких систем характерно возникновение комплекса обратных связей, которые определяют сложный характер эволюции системы в целом.
Понятие сложной системы естественным образом возникло при изучении свойств больших систем в различных областях современной науки. Внимательное изучение таких систем показало, что за этим свойством зачастую стоит нетривиальная самоорганизация связей, возникающих между подсистемами. Такие системы были обнаружены во многих областях современной науки: в физике и химии, биологии и экологии, экономике и в науках об обществе, в теории сознания и моделях искусственных нейронных сетей. Несмотря на огромное разнообразие примеров сложных систем, в наблюдаемых в них явлениях можно увидеть и много общих черт. Осознание этой общности привело к появлению новой дисциплины: науке о сложных системах, которая объединяет методы теории динамический систем, неравновесной статистической физики, теории открытых систем и теории информации.
Предлагаемый курс представляет собой введение в науку о сложных системах. Его цель заключается в раскрытие основных особенностей динамики сложных систем на примере качественных математических моделей из различных областей современной науки. Курс построен на постепенном усложнении рассматриваемых систем от одномерных к многомерным, от детерминистических к стохастическим. Будет показано, как в динамических системах с ростом размерности возникает хаос, как появляется самоорганизация и иерархия степеней свободы. Будут рассмотрены как аналитические, так и численные методы исследования сложных систем на основе клеточных автоматов.
Курс рассчитан на студентов-теоретиков 4-го курса специалитета, однако, рассматриваемый материал будет интересен также студентам и аспирантам других физических специальностей, так как темы, обсуждаемые в Курсе, затрагивают широкий круг задач современной физики, включая биофизику и геофизику.
В рамках курса студентам будет предложена практическая задача по моделированию процессов в активных средах. В конце курса будет проведено зачетное занятие, где эти задачи будут разобраны.
План курса:
Лекция 1.
Эволюционная задача Пуанкаре. Классификация стационарных точек в 1-й и 2-х размерностях. Модель ограниченного роста Ферхюльста. Фазовое пространство и сепаратрисы.
Лекция 2.
Предельные множества. Теорема Пуанкаре-Бендикcона. Аттракторы и репеллеры. Система, состоящая из двух конкурирующих подсистем. Модель Осипова-Ланчестера. Квадратичная модель конкурирующих подсистем.
Лекция 3.
Модели пищевой иерархии. Простые и предельные циклы. Модели типа «хищник-жертва»: модель Лотке-Вольтерра и модель Розенцвейга. Парадокс «обогащения». Осциллятор Ван-дер-Поля. Теорема Лиенара.
Лекция 4.
Топологические методы анализа предельных множеств. Одномерный пример (аттрактор — репеллер — аттрактор – репеллер последовательность). Теорема Пуанкаре об индексе.
Лекция 5.
Метод отображений Пуанкаре. Дискретные отображения. Поиск предельных точек дискретных отображений. Теория бифуркаций. Примеры бифуркации типа вилка и бифуркации Хопфа. Диаграммы Ламерея и сценарий удвоения частоты. Эффект перемежаемости.
Лекция 6.
Понятие фрактала. Масштабная инвариантность фракталов. Размерность фрактала. Методы определения размерности фрактала. Канторова пыль и ее размерность.
Лекция 7.
Странный аттрактор системы Лоренца. Стационарные точки и бифуркации в этой системе. Генерация хаоса системой Лоренца. Подкова Смейла. Фрактальные структуры, генерируемые системой Лоренца.
Лекция 8.
Система Лоренца в каноническом виде. Быстрые и медленные переменные и принцип подчинения Хакена. Синергетический потенциал Ландау-Халатникова. Система Лоренца в адиабатическом режиме.
Лекция 9.
Сыпучее тело и задача Куэтта о зыбучем песке. Статический профиль, инстантон задаче Куэтта. Задача Куэтта с внешней силой. Деформация синергетического потенциала Ландау-Халатникова. Волна переключений в задаче Куэтта.
Лекция 10.
Диффузия в закрытых и открытых системах. Активные среды. Бегущая волна переключений. Волны Колмогорова и Зельдовича. Направление волны переключений.
Лекция 11.
Теория горения и задача о зародыше в одномерном, двумерном и многомерном случаях. Неоднородности на границе смены фаз. Неоднородность Ландау-Дарье фронта горения.
Лекция 12.
Бегущая волна импульса. Активатор и ингибитор. Примеры систем с волной бегущего импульса. Система Белоусова-Жаботинского. Приближение резкого фронта и профиль БИ-волны.
Лекция 13.
Кинетика автоволн. Уравнение спиральной волны. Предельная кривизна фронта и турбулентное ядро спиральной автоволны. Основное уравнение кинетики автоволн.
Лекция 14.
Моделирование динамики активных сред. Регулярные и стохастические клеточные автоматы. Классификация клеточных автоматов по типу предельных множеств.
Лекция 15.
Клеточные автоматы в науке о живом. Нейронные сети как активные среды. Модель Винера-Розенблюта. Спиральные волны. Роль структуры связей в появлении автоволн.
Лекция 16.
Модель сыпучего тела П. Бака на основе клеточного автомата. Самоорганизация в активных средах. Лавины изменений и масштабная инвариантность. Фрактальность самоорганизованного состояния клеточного автомата Бака.
Лекция 17.
Искусственные нейронные сети и клеточные автоматы. Правила обучения нейронных сетей. Эволюционные алгоритмы обучения. Машина Больцмана. Явление самоорганизации в нейронных сетях.
