«Обобщения теории гравитации Эйнштейна»
Описание курса:
Курс предназначен для ознакомления с обобщениями созданной Эйнштейном общей теорией относительности (ОТО), активно исследуемыми в настоящее время, а именно, с теорией F(R) гравитации и со скалярно-тензорными теориями, описывающими модели с неминимальным взаимодействием гравитации (скаляра Риччи) и скалярного поля. Отличительной особенностью рассматриваемых в курсе обобщений гравитации является то, что они могут быть с помощью конформного преобразования метрики преобразованы в модели ОТО со скалярными полями. В курсе описываются методы получения основных уравнений рассматриваемых теорий гравитации, анализ космологических уравнений в метрике Фридмана, способы нахождения точных решений этих уравнений. Дано краткое введение в теорию инфляции с рассмотрением инфляционной модели R2 гравитации, предложенной Старобинским. Приведены примеры более сложных теорий, нелокальных гравитационных моделей, которые могут быть сведены к скалярно-тензорным теориям с помощью процедуры локализации. Показана разница между метрическим формализмом и формализмом Палатини. Данный курс содержит материал, связанный как с модифицированной гравитацией, так и с моделями ОТО со скалярными полями, получаемыми из моделей модифицированной гравитации конформным преобразованием метрики и является естественным продолжением курса по ОТО.
План курса:
Лекция 1
Повторение основ римановой геометрии. Связь между метрическим тензором, символами Кристоффеля и тензором Римана. Тензор и скаляр Риччи. Действие F(R) гравитации.
Лекция 2
Модели с неминимальным взаимодействием скалярного поля и гравитации. F(R) гравитация как модель с неминимальным взаимодействующим скалярным полем без кинетического члена. Различие между метрической формулировкой гравитационной теории и формулировкой Палатини.
Лекция 3
Получение уравнений эволюции помощью варьирования действия в метрических теориях с неминимальным взаимодействием скалярного поля и гравитации.
Лекция 4
Действие и уравнения метрической F(R) гравитации. Получение уравнений эволюции с помощью варьирования действия F(R) гравитации. Получение уравнений эволюции F(R) гравитации с помощью модели с неминимальным взаимодействием скалярного поля и гравитации.
Лекция 5
Тензор энергии-импульса скалярного поля с нестандартным кинетическим членом.
Лекция 6
Конформное преобразование метрики. Преобразование символов Кристоффеля, скаляра Риччи, тензоров Риччи и Римана. Тензор Вейля. Получение потенциала скалярного поля в формулировке Эйнштейна модели F(R) гравитации.
Лекция 7
Космологические модели ОТО со скалярными полями. Метрика и уравнения Фридмана. Параметр Хаббла. Параметр уравнения состояние и различные типы космической жидкости.
Лекция 8
Разница между космологическими уравнениями ОТО и уравнениями модифицированной гравитации в метрике Фридмана. Методы поиска точных космологических решений. Примеры моделей с точными решениями. Интегрирование модели с минимально взаимодействующим скалярным полем и экспоненциальным потенциалом.
Лекция 9
Анализ стабильности решений де Ситтера в моделях с неминимально взаимодействующим скалярным полем. Метод эффективного потенциала.
Лекция 10
Интегрируемые космологические модели с неминимально взаимодействующим скалярным полем и их аналоги в ОТО. Модель с постоянным скаляром Риччи.
Лекция 11
Математические основы инфляционных моделей ОТО со скалярным полем. Приближение медленного скатывания и параметры медленного скатывания. Запись точных уравнений Фридмана через параметры медленного скатывания. Число е-фолдингов.
Лекция 12
Модель инфляции Старобинского как пример теории F(R) гравитации, согласующейся с наблюдательными данными. Уравнения в пространственно плоской метрике Фридмана и решение в приближении медленного скатывания. Модель ОТО, соответствующая модели Старобинского. Параметры медленного скатывания и инфляционные параметры.
Лекция 13
Модель инфляции с бозоном Хиггса Стандартной модели элементарных частиц, неминимально взаимодействующим с гравитацией. Переход к формулировке Эйнштейна. Сравнение с инфляцией Старобинского.
Лекция 14
Гравитационные модели с несколькими скалярными полями. Киральные космологические модели и их связь с модифицированной гравитацией. Способы получения модели с нестандартным кинетическим членом из модели со стандартным кинетическим членом.
Лекция 15
Метод реконструкции потенциала и построения моделей ОТО с точными решениями в случае нескольких полей. Общий формализм и разбор конкретных примеров.
Лекция 16
Нелокальные модели гравитации, сводящиеся к моделям скалярно-тензорной гравитации с помощью процедуры локализации.
Лекция 17
Формализм Палатини в F(R) гравитации и моделях с неминимально взаимодействующим скалярным полем, вывод уравнений движения. Связь с моделями ОТО.
